Сходимость рядов

[myra_panama]

Исследовать сходимость следующих рядов:
1)$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \int\limits_0^{\infty} \frac{e^{-nt}\ln{t}}{\sqrt{1+t^2}}dt$
2)$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^{n}}dx - 1|$
Ничего не приходит в голову
ну только знаю что $\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^{n}}dx=\frac1{n}$ Г$(\frac1{n})$

[Null]

Оба ряда имеют асимптотику не меньшую $\frac{c}{n}$ и расходятся. Если я не обсчитался.

[Хорхе]

$\frac1n\Gamma(\frac1n)=\Gamma(\ldots)$

[ewert]

В первом случае. На участке от 1/2 до бесконечности подынтегральная функция очевидным образом оценивается по модулю чистой экспонентой сверху, в то время как на участке от 0 до 1/2 не менее очевидно (опять же по модулю) -- снизу. Соответственно: интеграл до половинки оценивается через $c/n$ и даёт расходящийся ряд, а интеграл после половинки помешать расходимости не сможет, т.к. убывает экспоненциально.

Во втором случае: гамма-функция -- это, конечно, хорошо, но можно и пальчиками. Там стоит разность двух положительных интегралов: $\int\limits_0^1(1-e^{-x^n})dx$ и $\int\limits_1^{+\infty}e^{-x^n}dx$. После замены $x=1\pm t$ достаточно очевидно, что оба интеграла ведут себя примерно как $c/n$, только вот $c$ разные: для второго интеграла это $e^{-1}$, а для первого -- $(1-e^{-1})$. Соответственно, и их сумма ведёт себя как некоторое $c/n$.

[myra_panama]

ммм браво и спасибо