задача на неопределенность Гейзенберга

[greyvolf]

Задача:
Энергия возбужденного электрона находящегося в потенциальном квантовом ящике на четвертом энергетическом уровне равна 0.86 эВ. С какой неопределенностью может быть установленна скорость электрона?
неопределенность Гейзенберга $ \vartriangle p \vartriangle x \simeq h/2 \pi $;$ \vartriangle t \vartriangle E \simeq h/2 \pi $
Решение:
$ \vec p =m \vec v $
т.к. $ E=mc^2 $, то
$ p={Ev}/c^2 $
$ \vartriangle p = {\vartriangle E \vartriangle v}/c^2 $
$ {(\vartriangle E \vartriangle v \vartriangle x)}/c^2 = h/2 \pi $
$ \vartriangle v = {h c^2} /{2 \pi \vartriangle E \vartriangle x} $.....вот.а дальше что?как избавиться от местоположения частицы?

[mihiv]

Зная энергию электрона и номер уровня,можно определить ширину потенциальной ямы(неопределенность координаты).

[Bulinator]

По-моему задача должна быть решена точно. А именно, посчитать в.ф. а из нее стандартным способом получить неравенство Гейзенберга. Вернее его правую часть.

[kavahox]

Энергия покоя электрона около 0.5 Мэв. При указанной энергии он нерелятивистичен, т.е. для энергии надо использовать не $m c^2$ а $\frac{m v^2}{2}$. А в общем все очевидно :)

[greyvolf]

согласен с Kavahox, здесь кинетическая энергия.тогда:
выразив m из формулы кинетической энергии-$ E={mv^2}/2 $,
и подставив в формулу импульса получаем:
$ \vartriangle p = {2 \vartriangle E }/ \vartriangle v $
$ {(2 \vartriangle E \vartriangle x )}/ \vartriangle v = h/2 \pi $
$ \vartriangle v = h /{4 \pi \vartriangle E \vartriangle x} $

[Bulinator]

greyvolf
$\hbar/2$ у Вас только при очень специфической в.ф. В Вашем частном случае в неравенстве Гейзенберга справа можеть стоять выражение отличное от $\hbar/2$. Например, просто $\hbar$.

[greyvolf]

неопределенность координаты можно получить так:
импульс и энергия связаны соотношением
$ E=p^2 / 2m $, тогда
$ E= {h^2}/{2m (2 \vartriangle x \pi )^2} $
$ \vartriangle x = {h /{2 \pi }}{\sqrt{ 1/ { 2m\vartriangle E }}} $,
правильно?

-- Пт янв 28, 2011 17:30:17 --

Bulinator, а как тогда можно учесть все возможные варианты волновых функций в данном решении?

[Bulinator]

greyvolf
Решение следующие:
Решаете уравнение Шредингера для потенциального ящика. Определяете в.ф. Далее считаете
$\delta x=\overline{(x-\bar x)^2},\quad \delta p=\overline{(p-\bar p)^2}$. Перемножаете их радуетесь жизни.
См. также Ландафшиц, т. 3,$\S 16$- Соотношения неопределнности.

-- Пт янв 28, 2011 18:42:57 --

greyvolf в сообщении #405882 писал(а):

Bulinator, а как тогда можно учесть все возможные варианты волновых функций в данном решении?

У Вас одна определенная в.ф.
P.S.
Ваше решение неправильно уже исходя из того, что оно одинаково абсолютно для всех квантовых систем.

[greyvolf]

хорошо, спасибо Bulinator, сейчас попробую так посчитать и напишу что получится.

-- Пт янв 28, 2011 18:39:18 --

хотя тут такой еще нюанс, что здесь в условии еще не указано какой мерности этот ящик....ну да ладно....

[Bulinator]

greyvolf в сообщении #405910 писал(а):

хотя тут такой еще нюанс, что здесь в условии еще не указано какой мерности этот ящик

Посчитайте, посчитайте ;))))))

[greyvolf]

пусть

$$ Е_р =0 $$

,ширина ямы l, стенки бесконечно высокие, тогда:

$$ {\frac {\operatorname {d }^2 \psi(x)}{\operatorname {d }x^2}}+{2mE \psi (x)}/{\hbar^2} =0$$

при

$$x=0 $$ $$y(0)=0$$

при

$$x=l $$ $$y(l)=0$$

по условию нормировки:

$$\int_{0}^{l} {\psi}^2(x) \, dx=1 $$

решаем как дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

$$\psi=A \sin (\sqrt{\frac{2mEx}{\hbar^2}+a_0})$$

т.к.

$$a_0=0$$

при

$$y(0)=0$$

, а при

$$y(l)=0$$

, то

$$l {\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}=\pi n$$

т.к.

$$E={\frac{{\pi}^2{\hbar^2}^2h^2}{2ml^2}}$$

зная Е и n, можно найти l впринципе.

$$A=\sqrt {2/l}$$

можно найти и A
получаем вот такую функцию:

$$\psi (x)=\sqrt {2/l}\sin{\pi n{x/l}}$$

даже зная энергетический уровень и энергию в синусе все равно остается x, что с ним то делать?

-- Пт янв 28, 2011 20:41:40 --

$$\vartriangle p\vartriangle x ={\psi}^2(x)$$

[Bulinator]

greyvolf в сообщении #405950 писал(а):

остается x, что с ним то делать?

Посчитать его среднее. Потом посчитать среднеквадратическое отклонение. Потом проделать тоже самое для импульса и потом перемножить результаты.

[greyvolf]

да это то я понимаю....а вот как??!...как посчитать среднее, если у меня нет ни одного значения?

[Bulinator]

А вот не скажу! Берете третий том Ландафшица, открываете $\S 3$ - "Операторы" и находите ответ на свой вопрос. Если возникнут вопросы, пожалуйста, обращайтесь.

[myhand]

greyvolf в сообщении #405950 писал(а):

$$\vartriangle p\vartriangle x ={\psi}^2(x)$$

А это просто чушь.

Вас по какому учебнику учат QM? Срочно берем его и начинаем методически читать с первой страницы. Ландавшиц для Вас, скорее всего, сложноват будет.