1000 - значное число с заданным свойством

[Xenia1996]

Существует ли натуральное число n, в десятичной записи которого ровно 1000 цифр, ни одна из которых не равна нулю, обладающее следующим свойством:

все цифры этого числа можно разбить на 500 пар так, чтобы произведения цифр в каждой из этих 500 пар складывались в сумму, являющуюся делителем числа n?

[worm2]

Понятно, что способов решения масса, вопрос в том, какой из них красивее.

Пусть $N = (10^{1000}-1)/9$ (1000-значное число, состоящее из одних единиц).
Будем добавлять к $N$ различные $10^k$ (всего 12 штук) таким образом, чтобы после $i$-го добавления получившееся число делилось бы на $2^i$ (если число и так делится на $2^i$, то $k=1000-i$, а если нет, $k=i-1$). Получившееся в результате число $M$ состоит из 12 двоек, 488 единиц и делится на $2^{12}$. Группируя двойки только с единицами (оставшимся единицам придётся спариваться друг с другом ), получим сумму $512 = 2^9$, делящую $M$.

-- Чт янв 27, 2011 16:04:04 --

Число двоек можно уменьшить до 9, но кому это интересно?

[TOTAL]

Число $1122 1122 1122 ...$
Т.к. из $1122$ можно получить сумму $4$ или $5,$ то полную сумму можно сделать любым числом от $1000=4 \times 250$ до $1250= 5 \times 250.$ В частности, полную сумму можно сделать равной $1122$

[Руст]

Проще у числа из 1000 единиц менять одну цифру на 4. Любая сумма произведений пар цифр равна 503. Так как $503-1=2*251$ и $(\frac{10}{503})=-1$ число 10 является образующим относительно простого числа 503. Т.е. найдется место k, при замене 1 на 4 в этом месте указанное число делится на 503.
При этом выполняется более сильное условие :
при любом разбиении цифр числа на 500 пар сумма произведений делит это число.

[Xenia1996]

У меня вышло n=63364224422421122112\dots2112 (один блок 6336, затем два блока 4224, затем 247 блоков 2112). Разобьём его на 500 пар так: для каждого натурального m, не превышающего 500, цифры 2m-ая слева 2m-1-ая слева образуют пару.
Если я не обсчиталась, сумма произведений будет 247\cdot4+2\cdot16+1\cdot36=1056, а число n должно делиться на 1056, так как делится на 1056\cdot2=2112