определение поля через идеалы

[flame19]

помогите пожалуйста! нужно дать определение поля через идеалы... нигде такого не могу найти, а простое определение поля с определением идеалов как-то не получается связать...

[Joker_vD]

Коммутативное кольцо называется полем, если у него нет собственных идеалов.

[Leox]

Например так: фактор кольцо коммутативного кольца с единицей по максимальному идеалу является полем.. известый факт

[flame19]

спасибо!))

[Joker_vD]

Leox в сообщении #405303 писал(а):

фактор кольцо коммутативного кольца с единицей по максимальному идеалу является полем.. известый факт

Осталось доказать обратное: что любое поле является факторкольцом по максимальному идеалу.

[Leox]

Joker_vD в сообщении #405352 писал(а):

Leox в сообщении #405303 писал(а):

фактор кольцо коммутативного кольца с единицей по максимальному идеалу является полем.. известый факт

Осталось доказать обратное: что любое поле является факторкольцом по максимальному идеалу.

Берем кольцо многочленов от одной переменной над етим полем и факторизуем его по идеалу порожденному многочленом первой степени. Поскольку многочлен первой степени всегда неприводимый то такой идеал максимальный. Фактор кольцо изоморфно исходному полю.

[Null]

А само поле по тривиальному идеалу можно?

[Joker_vD]

Null
А тогда мы тут же приходим к моему определению: "Коммутативное кольцо с единицей, не имеющее собственных идеалов".