Преобразование Лапласа для трёхмерного векторного поля

[m_еugene]

Уважаемые.

В каждой точке трёхмерного пространства имеем вектор, величина и направление которого определяется некоей формулой, в которую входит также и время.
Дальнейшее исследование физического процесса требует привлечения преобразования Лапласа.
Сначала по одной координате, далее по второй, третьей, времени.

И здесь заклинило.

Само векторное поле определено во всём трёхмерном пространстве,
время от 0 до бесконечности.
А в формуле для преобразования Лапласа интегрирование имеет пределы от 0 до бесконечности,
следовательно,
по факту изображение создаётся только для векторов в части пространства,
имеющего только положительные координаты -
то есть для одной восьмой векторного поля.

Непорядок.

Сама исходная формула для поля векторов простейшая в сферических координатах,
и будь в формуле для преобразования Лапласа также сферические координаты, тогда нижний предел интегрирования автоматически будет от нуля.

Кстати, и множитель под знаком интеграла -
$e^{-st}$
прямо-таки просится в сферические координаты.

Вопрос:

Как модифицировать формулу для преобразования Лапласа -
как прямую, так и обратную -
для дальнейшего продвижения.