Апдейт функции

[Gortaur]

Пусть у нас есть компакт $A\subset \mathbb{R}^n$ и $u(x)$ - некоторая функция на $A$. Рассмотрим ее апдейт

$$ \hat{u}(x) = \lim\sup_{y\to x} u(y). $$

При каких условиях на $u$ данная функция будет непрерывна?

[Null]

$\forall x \forall \epsilon>0 \exists \delta>0: \{|f(y)-f(x)|<\epsilon, |x-y|<\delta\}$ всюду плотно в$ \{|x-y|<\delta\}$