Аксиома непрерывности и полнота

[Krull]

Это которая тут Непрерывность множества действительных чисел

Небольшой вопрос по основам матана, так сказать. Меня интересует, почему аксиома непрерыности иначе называется аксиомой полноты? Дабы подчеркнуть, что именно она даёт полноту $\mathbb{R}^n$ (через вложенные отрезки, теорему Больцано-Вейерштрасса, наконец, критерий Коши) ? Или есть ещё какое-то свойство полноты??

[Gortaur]

Да, это оно. Если Вы будете строить пространство со всеми аксиомами действительных чисел без аксиомы полноты (непрерывности), может получиться например $\mathbb{Q}^n$ которое не полно. А может множество иррациональных чисел, а может еще какая хрень. Полнота - это критерий Коши, теорема Б-В и по-моему, есть 3е эквивалентное определение для метрических пространств.

[Krull]

Спасибо, так я и думал!

[ewert]

Gortaur в сообщении #403678 писал(а):

по-моему, есть 3е эквивалентное определение для метрических пространств.

Для метрических пространств вообще это ровно и есть критерий Коши. Конкретно для вещественных чисел этот критерий иногда называют теоремой Больцано-Вейерштрасса. Существенно другой эквивалентной формулировкой, и именно для вещественных чисел, является аксиома непрерывности Дедекинда (в любом случае восходящая именно к Дедекинду) -- о существовании супремумов. Теорема о вложенных отрезках хотя и тоже эквивалентна, но на роль аксиомы как-то не тянет -- слишком уж неуклюжа.

[Gortaur]

Я не говорю что аксиома, я говорю что определение полного пространства. Вводить сечения Дедекинда чтобы определить полное пространство тоже неуклюже. Кстати, не знаю как Вас, а нас учили доказывать критерий Коши в $\mathbb{R}$ используя теорему БВ (когда доказываем достаточность последовательности Коши для сходимости).

[ewert]

Gortaur в сообщении #403697 писал(а):

нас учили доказывать критерий Коши в используя теорему БВ

Да, я напутал, прошу прощения: БВ -- это не полнота, а компактность (из которой полнота, естественно, следует, но не наоборот). Ну цепочки можно по-разному выстраивать. Это означает, что, скорее всего, у вас вещественные числа строились как дедекиндовы сечения.

[Профессор Снэйп]

Да! Полное упорядоченное архимедово поле единственно с точностью до изоморфизма.

Кстати, иногда через эти аксиомы вводят поле действительных чисел. Нам на первом курсе так вводили. Правда, определение получается не совсем корректным; единственность показать легко, но то, что хотя бы одно такое поле существует --- не до такой степени тривиальный факт. От конструктивного задания $\mathbb{R}$ (одним из известных эквивалентных способов --- через сечения Дедекинда, последовательности Коши, бесконечные десятичные дроби) всё равно никуда не деться.