Теория игр: нетавтологичное определение понятия стратегии

[epros]

Господа,

может ли кто-нибудь привести (дать ссылку на) нетавтологичное определение понятия "стратегия" (не путать с ходом игрока) в теории игр?

До сих пор я встречал определения (кажется, восходящие к Нэшу), которые трактовали стратегию игрока, как функцию, отображающую информацию, которой располагает игрок, на его ход (последовательность ходов). При этом в состав информации, которой располагает игрок, включается и информация о стратегиях других игроков. Получается тавтология: стратегия определяется через информацию о стратегии

[Руст]

Мне кажется здесь нет тавтологии. Я это считаю рекурсивным определением. Существует стратегия 0 порядка, которая определяет ход только по информации других ходов (без учёта стратегий других игроков), соответственно, появяться стратегии 1,2,... порядков. Если бы не было стратегии 0 порядка, то определение (только через ссылку самого себя) стало бы тавтологией.

[Orekhov]

Руст писал(а):

Мне кажется здесь нет тавтологии. Я это считаю рекурсивным определением. Существует стратегия 0 порядка, которая определяет ход только по информации других ходов (без учёта стратегий других игроков), соответственно, появяться стратегии 1,2,... порядков. Если бы не было стратегии 0 порядка, то определение (только через ссылку самого себя) стало бы тавтологией.

А есть ли успешное применение теории игр, допустим на бирже? Или уже допустим с конкурентами играть. Я что то не слышал что бы кто то озолотился.Сорос теорией игр врядли пользуется. Как он играет?

[PAV]

При этом никто не утверждает, что информация игрока соответствует действительности. Допустим, другой игрок сменил стратегию, а первый об этом еще ничего не знает. Соответственно, его собственная стратегия использует неверную информацию и может не приносить ожидаемых результатов, но все равно остается стратегией.

[Orekhov]

Книжка по играм стоит тысяч десять рублей. Если покупают биржевики,значит им помогает. Но разбогател ли кто не знаю.

Добавлено спустя 6 минут 22 секунды:

PAV писал(а):

При этом никто не утверждает, что информация игрока соответствует действительности. Допустим, другой игрок сменил стратегию, а первый об этом еще ничего не знает. Соответственно, его собственная стратегия использует неверную информацию и может не приносить ожидаемых результатов, но все равно остается стратегией.

А можно ли играть против всех? И все это кто? Индивидуалистическая стратегия игрока. И можно ли выиграть играя против всех? Выбрал стратегию -играть против всех. Я где то слышал что кто то придумал гуманные шахматы. Там в троем играют,то ли тремя цветами.
Мне кажется что есть стратегия в слабое звено. Где в такую игру в жизни играют?

[epros]

Руст писал(а):

Мне кажется здесь нет тавтологии. Я это считаю рекурсивным определением. Существует стратегия 0 порядка, которая определяет ход только по информации других ходов (без учёта стратегий других игроков), соответственно, появяться стратегии 1,2,... порядков. Если бы не было стратегии 0 порядка, то определение (только через ссылку самого себя) стало бы тавтологией.

То, что можно дать рекурсивное определение, понятно. Т.е. можно ввести "уровни" стратегии:
- стратегия 0-ого уровня не использует информацио о статегиях противников
- стратегия N-ого уровня использует информацию о стратегиях противников до N -1 уровня включительно.

Но у этого определения есть свои проблемы, связанные с переходом в бесконечность. Например, есть класс игровых задач двух рациональных игроков с заданными платёжными функциями, имеющий точку равновесия по Нэшу: это когда точка максимального выигрыша одного игрока при условии, что второй сходит в точку равновесия, совпадает с точкой максимального выигрыша второго игрока при условии, что первый сходит в точку равновесия (т.н. "седловая точка"). Так вот, чтобы строго доказать, что равновесие по Нэшу является решением игровой задачи, необходимо заложить условие, что обоим игрокам точно известны стратегии противников. Когда стратегии определены "до некоторого уровня", это условие придётся уточнять: "... известны стратегии любого уровня". А что такое "стратегия любого уровня"?

Если же выбрать некий конечный уровень стратегии N, которым мы и ограничимся, то решением будет НЕ точка равновесия по Нэшу - т.е. решение зависит от выбранного уровня стратегии, причём никакой сходимости решения при N стремящемся в бесконечность, вообще говоря, не наблюдается...

[epros]

Тот же вопрос был поднят на scilog.ru (см. здесь). Я рассчитываю на то, что здесь больше шанс встретить собеседника, который хорошо понимает математическое содержание вопроса, зато там, в случае чего, можно писать достаточно навороченные формулы

[PAV]

epros писал(а):

Например, есть класс игровых задач двух рациональных игроков с заданными платёжными функциями, имеющий точку равновесия по Нэшу: это когда точка максимального выигрыша одного игрока при условии, что второй сходит в точку равновесия, совпадает с точкой максимального выигрыша второго игрока при условии, что первый сходит в точку равновесия (т.н. "седловая точка"). Так вот, чтобы строго доказать, что равновесие по Нэшу является решением игровой задачи, необходимо заложить условие, что обоим игрокам точно известны стратегии противников.

Не очень понимаю, зачем это нужно. В Вашем определении точки равновесия по Нэшу понятие "стратегии" не фигурирует. Где же оно возникает в Вашем вопросе?

[незваный гость]

Orekhov писал(а):

А есть ли успешное применение теории игр, допустим на бирже? Или уже допустим с конкурентами играть. Я что то не слышал что бы кто то озолотился.Сорос теорией игр врядли пользуется. Как он играет?

Есть точка зрения, что те кто пишут книги, не понимают биржу. А те кто понимают, не пишут книги, им и так есть, чем заняться (например, игрой на той же бирже).

Поэтому про действительно успешное применение теории игр на бирже Вы вряд ли узнаете.

[epros]

PAV писал(а):

Не очень понимаю, зачем это нужно. В Вашем определении точки равновесия по Нэшу понятие "стратегии" не фигурирует. Где же оно возникает в Вашем вопросе?

Как это не фигурирует? Оно фигурирует в общей постановке игровой задачи. Найти решение игровой задачи - это значит выбрать оптимальную стратегию из множества возможных, а уж потом (в ходе игры) - ходить в соответствии с ней.

Что касается точки равновесия по Нэшу - то это всего лишь седловая точка платёжной функции игроков. Нужно ещё доказать, что ход в седловую точку является оптимальной стратегией. В некоторых случаях это кажется очевидным из соображений здравого смысла, а в других случаях - не очень-то очевидно.

[PAV]

Можете привести точное определение понятия "оптимальная стратегия"?

[epros]

PAV писал(а):

Можете привести точное определение понятия "оптимальная стратегия"?

Так в этом-то и весь вопрос: чтобы определить оптимальную стратегию, нужно сначала внятно определить множество стратегий вообще. Но если второе сделано, то с первым уже не должно возникнуть проблем: оптимальная статегия для рационального игрока должна максимизировать платёж в его пользу при любой заданной информации о стратегиях противников.

[Yuri Gendelman]

epros писал(а):

...чтобы строго доказать, что равновесие по Нэшу является решением игровой задачи, необходимо заложить условие, что обоим игрокам точно известны стратегии противников...

Рассмотрим простейшую игровую модель - конечную антагонистическую матричную игру 2х игроков с известной матрицей выигрышей. Каждый игрок, если он знает теорию игр, может вычислить седловую точку или смешанные стратегии за обоих игроков. Но значит ли это, что он знает точно стратегию противника? Нет! А вдруг противник не знает теории игр? В этом, по-моему, и состоит особенность минимакса: поиск наилучшего гарантированного результата даже в наихудшей ситуации, т.е. независимо от действий противника.

[epros]

Yuri Gendelman писал(а):

Рассмотрим простейшую игровую модель - конечную антагонистическую матричную игру 2х игроков с известной матрицей выигрышей. Каждый игрок, если он знает теорию игр, может вычислить седловую точку или смешанные стратегии за обоих игроков. Но значит ли это, что он знает точно стратегию противника? Нет! А вдруг противник не знает теории игр? В этом, по-моему, и состоит особенность минимакса: поиск наилучшего гарантированного результата даже в наихудшей ситуации, т.е. независимо от действий противника.

Это в игре с нулевой суммой равновесие по Нэшу является одновременно точкой минимакса. А в играх с ненулевой суммой всё не так очевидно. Например, в "дилемме заключённых" решение "не раскалываться" в сумме является наиболее выгодным для игроков (т.е. является оптимальным в случае с кооперацией), тем не менее, точкой равновесия по Нэшу является решение "расколоться".

[Yuri Gendelman]

epros писал(а):

Это в игре с нулевой суммой равновесие по Нэшу является одновременно точкой минимакса. А в играх с ненулевой суммой всё не так очевидно.

Я взял простейшую модель, чтобы проиллюстрировать тезис: в теоретико-игровых моделях знание точной стратегии противника не обязательно. Т.е. Ваш вопрос относится не к теории игр вообще, а к концепции равновесия по Нэшу. Но в этом случае, насколько я помню, действительно предполагается рациональное поведение игроков, что и обеспечивает точное знание стратегии противника. Иначе решение может быть неустойчивым. И даже использование рекурсии ("рефлексивное управление") не поможет. Примерно как в матанализе: ряд 1, -1, 1, -1, ... не сходится, предел не существует.