Подобное отображение упорядоченного множества

[Виктор Викторов]

В книге П. С. Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию" на странице 52 есть интересная теорема «Всякое счетное упорядоченное множество $X$ подобно некоторому подмножеству множества $D$ всех двоично-рациональных чисел интервала $(0; 1)$, причем если множество $X$ не содержит ни пустых интервалов, ни первого и ни последнего элементов, то оно подобно всему множеству $D$.»

Мне эта теорема интересна тем, что никуда не надо бегать за типами счётных множеств. Каждый тип счетного множества просто уже есть тип некоторого подмножества рациональных чисел открытого интервала $(0; 1)$ в своем естественном порядке. А вот с доказательством у меня возникли проблемы. Доказывая теорему, П. С. Александров фиксирует все элементы множества $X$ в последовательность $x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$, порядок которой, вообще говоря, не имеет ничего общего с порядком в множестве $X$. Дальше все двоично-рациональные числа интервала $(0; 1)$ располагаются в бесконечную треугольную пирамиду с верхушкой в точке $\frac 1 2$ (первый уровень) и продолжением на каждом уровне с соответствующими степенями двойки. Каждый уровень (что важно) имеет конечное число элементов. Дальше идет рассуждение, весьма напоминающее диагональный метод Кантора. Первый элемент нашей последовательности сопоставляется точке $\frac 1 2$. Затем мы ищем элемент с наименьшим номером, предшествующий первому элементу. И сопоставляем его $\frac 1 4$, а если его нет, то берем следующий за первым и сопоставляем его $\frac 3 4$. Весь процесс описан на странице 53. Во-первых, я его толком не понял, а во вторых, проведя построение, автор вынужден доказывать, что построение сюръективно (подмножество множества $D$ на $X$). Я предлагаю доказательство по индукции. Пусть первый элемент последовательности сопоставлен точке $\frac 1 2$. Возьмем второй элемент нашей последовательности и сопоставим его элементу второго уровня в соответствующем порядке (на каждом следующем уровне есть как элементы предшествующие, так и следующие за каждым элементом предшествующего уровня). Этот второй элемент есть база нашей индукции. Теперь индукционный шаг. Пусть уже поставлены в соответствие с сохранением порядка $n$ элементов и полностью или частично использовано $k$ уровней. Возьмем $n+1$ элемент и выясним как он соотносится с первыми $n$ элементами (между какими находится или предшествует всем или следует за всеми) и посмотрим есть ли среди $k$ уровней свободное (несопоставленное) двоично-рациональное число. Если такое имеется, то его и используем для $n+1$ элемента. А если такого нет, то влезем на $k +1$ уровень и сопоставим $n+1$ элементу двоично-рациональное число, находящееся между соответствующими прообразами. Всё доказано.

Вопросы: 1. Нет ли вранья в моем доказательстве? Если вранья нет, то вопрос 2 пропускаем. Если враньё есть, то помогите понять доказательство П. С. Александрова. 3. Кто-нибудь видел эту теорему где-нибудь ещё?

[Xaositect]

Вроде бы у Вас все хорошо. Такое бесконечное дерево поиска получается.
В брошюрке Верещагина-Шеня есть эта теорема, там даже дерево не строится, говорится, что раз у нас $\mathbb{Q}$ - множество плотное ($\forall x y \exists z : x<z<y$), то нужный элемент всегда найдется. У Хаусдорфа в "Теории множеств" то же самое, там теорема формулируется немного более общая: "Если $A$ счетное, $B$ неограниченное и плотное множество, то $A$ подобно некоторому подмножеству $B$."

[Виктор Викторов]

Спасибо. А то я не нашёл у Френкеля ничего подобного и как-то опечалился.

[Padawan]

Xaositect в сообщении #403748 писал(а):

У Хаусдорфа в "Теории множеств" то же самое, там теорема формулируется немного более общая: "Если $A$ счетное, $B$ неограниченное и плотное множество, то $A$ подобно некоторому подмножеству $B$."

Всё уже сделано до нас Вывод - читать классиков. Хотя, П. С. Александров -- это тоже классик.

[Виктор Викторов]

Padawan в сообщении #403783 писал(а):

Всё уже сделано до нас

Спорно.

Padawan в сообщении #403783 писал(а):

Вывод - читать классиков. Хотя, П. С. Александров -- это тоже классик.

Бесспорно.

[Виктор Викторов]

Эта теорема мне нужна не только сама по себе, но и для доказательства одного утверждения в той же книге П. С. Александрова на странице 75. Я пишу сейчас только о той части теоремы, в которой у меня возникли проблемы. Рассматривается открытый интервал $(0; 1)$ и все его рациональные точки на время доказательства считаются занумерованными в последовательность: $r_1, r_2, \dots, r_n, \dots$ (как пишет П. С. Александров: «Занумеруем раз и навсегда ...»). В этой последовательности все элементы различны, но последовательность не является возрастающей. С другой стороны у неё есть возрастающие подпоследовательности. Дальше рассматривается каждая точка открытого интервала $(0; 1)$ в двоичном представлении, беря в случае двух вариантов такого представления, представление с единицами в конце. Или иначе каждое число представляется «в виде суммы бесконечного ряда $t= \frac 1 {2^{n_1}} + \frac 1 {2^{n_2}} + \dots + \frac 1 {2^{n_k}} + \dots$». И, наконец, рассматривает подпоследовательность «раз и навсегда занумерованной последовательности» $r_{n_1}, r_{n_2}, \dots, r_{n_k}, \dots$. Номера $n_k$ есть номера единиц в двоичном представлении или (что тоже самое) степени двоек. Последовательность $r_{n_1}, r_{n_2}, \dots, r_{n_k}, \dots$ обозначена так: (10). И на странице 76 написано: «Возможны два случая: а) Множество (10) не является вполне упорядоченным (по величине входящих в него рациональных чисел); в этом случае относим точку $t$ к множеству $E_{ \omega_1}$. б) Множество (10) вполне упорядочено и имеет тип $ \alpha$, $ \omega \leqslant \alpha < \omega_1$; в этом случае относим точку $t$ к множеству $E_{ \alpha}$.»
Мой вопрос: как в случае б) реализуются различные счётные ординалы? Я вижу только один ординал $ \omega$. Где моя ошибка?

[Виктор Викторов]

Дошло. Речь идет не о возрастающей подпоследовательности, а о полученном таким образом множестве. А оно, конечно, может иметь любой счётный ординал!