Идеал кольца.

[flame19]

Прошу проверить такое задание:
$\mathbb Z [x]$ - множество многочленов над $\mathbb Z. $ $ \mathbb I$ - множество многочленов чётной степени. Является ли $\mathbb I$ - идеалом $\mathbb Z [x]$ над $\mathbb Z$? если да, то главный ли он?
решение:
чтобы узнать является ли $\mathbb I $ идеалом нужно проверить свойства сложения и умножения.
пусть $f(x), g(x) \in \mathbb I $.
Тогда $f(x)+g(x) \in \mathbb I $ т.к. при сложении складываем элементы многочленов с одинаковыми степенями, следовательно получим многочлен чётной степени.
$f(x)*g(x) \in \mathbb I $ т.к. степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей, следовательно так же получим многочлен чётной степени.
Значит $\mathbb I $ - идеал.
а вот с определением главный ли он немного сложнее...
вапще думаю, что он главный, но как это доказать не очень понимаю...
знаю, что главный идеал порождён одним элементом...
но какой это элемент не понимаю...

[Gortaur]

Сложите многочлены $x^2+x-1$ и $-x^2+x-1$.

[flame19]

Gortaur в сообщении #403081 писал(а):

Сложите многочлены $x^2+x-1$ и $-x^2+x-1$.

хм.... точно) получится $2x-2$- многочлен нечётной степени)) значит I - не идеал)) спасибо!!))

[Joker_vD]

$\deg(f+g) \leq \max\{\,\deg(f),\deg(g)\,\}$

$\quad \deg(fg) \leq \deg(f) + \deg(g)$.

[flame19]

Joker_vD в сообщении #403093 писал(а):

$\deg(f+g) \leq \max\{\,\deg(f),\deg(g)\,\}$

$\quad \deg(fg) \leq \deg(f) + \deg(g)$.

разве для умножения не будет строгое равенство ???

[ewert]

flame19 в сообщении #403072 писал(а):

чтобы узнать является ли $\mathbb I $ идеалом нужно проверить свойства сложения и умножения.
пусть $f(x), g(x) \in \mathbb I $.
Тогда $f(x)+g(x) \in \mathbb I $ т.к. при сложении складываем элементы многочленов с одинаковыми степенями, следовательно получим многочлен чётной степени.
$f(x)*g(x) \in \mathbb I $ т.к. степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей, следовательно так же получим многочлен чётной степени.

Это Вы проверяете не идеальность, а то, что это -- подкольцо. Ну оказывается, что нет. Тогда какой вообще смысл спрашивать, идеал ли это?... Странная задача.

-- Сб янв 22, 2011 18:39:07 --

flame19 в сообщении #403095 писал(а):

разве для умножения не будет строгое равенство ???

нет по сугубо формальной причине, не относящейся в данном случае к делу: что будет, если умножить на ноль?...

[flame19]

ну да, верно. спасибо)