Простая задача по школьной физике

[Narn]

Задача, была, кажется, сформулирована так: имеется $m_1$ кг воды при температуре $t_1$, ее нагревают, пропуская через нее $m_2$ кг водяного пара при температуре $t_2 = 100$ . Требуется найти конечную температуру воды $T$.

Видимо, надо предположить, что тепло в окружающее пространство не теряется, а пар, проходя через воду конденсируется. Или можно сказать вообще так: у нас есть некий теплоизолированный ящик, внутри него перегородка, разделяющая воду и пар. Перегородку убирают, найти конечную температуру воды в ящике (массы и температуры таковы, что весь пар сконденсируется). Во всяком случае, меня интересует именно такая постановка задачи.

Мне казалось, что задачка - из серии "для спинного мозга", достаточно приравнять количество теплоты, отданное паром при конденсации и сконденсировавшейся из него 100-градусной воды при охлаждении до конечной температуры к количеству теплоты, необходимому для нагрева холодной воды до конечной температуры:

$$ \lambda m_2 + C m_2 ( t_2 - T) = C m_1 ( T - t_1) $$

( $\lambda$ - удельная теплота парообразования, $C$ - удельная теплоемкость воды) и найти $T$. Задачку у меня спросила младшая сестра, мы ее подробно разобрали, она стала считать в числах --- не сошлись с ответом, ощутимо (градусов на 6).

Я решил спросить на всякий случай у друга (он все-таки МФТИ заканчивал, у меня и от школьной физики в голове уже мало что осталось). И вот тут началось самое интересное. Он мне сказал, что так решать нельзя, а решать надо так:

Рассмотрим малую масу пара $dm$. Пусть она повышает температуру воды на $dt$. Имеем уравнение

$$ \lambda dm + C dm ( t_2 - (t_1 + dt) = C m_1 dt, $$

в котором член $(dm ) (dt)$ имеет второй порядок малости, а потому им можно пренебречь. Отбрасывая его и интегрируя левую часть по пару ( $m$ меняется от 0 до m_2), а правую часть по температуре ( $t$ меняется от $t_1$ до $T$), получаем:

$$ \lambda m_2 + C m_2 ( t_2 - t_1) = C m_1 (T - t_1) $$

и итоговая температура должна считаться отсюда. Условия задачи с числами у меня уже не было, так что проверить, сойдется ли с ответом у него, я не могу. В конце концов, и бог бы с ним, я уже не в школе, а сестре это вообще безразлично

Вопросы:
Кто прав? Мне, конечно, кажется, что я. У меня есть закон сохранения энергии, я использую его, и меня не интересует, как там в деталях протекал процесс. Я всегда могу взять внутренние энергии пара и воды в начальный момент, в конечный момент и приравнять их изменения друг другу. Если я не прав, то в чем? Если не прав мой товарищ, то где у него мошенничество? ( на мой взгляд, неоправданно считать, что малая масса пара нагрела всю массу холодной воды, да и вообще все его решение выглядит как-то подозрительно; то, что кунштюки такого типа объяснить десятикласснику непрофильной школы невозможно, не в счет). Мне, однако, сказали, что все задачи якобы именно так и решаются.

[venco]

Ваш друг не учёл, что $t_1$ и $m_1$ меняются в процессе. Ну или если их считать константами, то в первом уравнении вместо них должны быть некие функции.
А Вы решили правильно.

[Narn]

venco в сообщении #402766 писал(а):

Ваш друг не учёл, что $t_1$ и $m_1$ меняются в процессе. Ну или если их считать константами, то в первом уравнении вместо них должны быть некие функции.

Все ясно, спасибо!