Оптимизация или решение дополненной системы

[reader_st]

Столкнулся с задачей:

пусть
$ \left\{ \begin{array}{l} f_1(x_1,x_2,x_3)-d1=0;\\ f_2(x_1,x_2,x_3)-d2=0;\\ f_3(x_1,x_2,x_3)-d3=0;\\ f_4(y_1,y_2,y_3)-d4=0;\\ f_5(y_1,y_2,y_3)-d5=0;\\ f_6(y_1,y_2,y_3)-d6=0;\\ f_7(z_1,z_2,z_3)-d7=0;\\ f_8(z_1,z_2,z_3)-d8=0;\\ f_9(z_1,z_2,z_3)-d9=0. \end{array} \right. $

система алгебраических уравнений. Она по сути состоит из трех систем по три уравнения. Решение каждой из этих трех систем я знаю, следовательно и решение всей системы. Возникает вопрос: что будет с этим решением, если на неизвестные переменные наложить некие условия. Например, вот такие
$ \left\{ \begin{array}{l} g_1(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3)-c1\ge 0;\\ g_2(x_1,x_2,x_3,z_1,z_2,z_3)-c2\ge0;\\ g_3(y_1,y_2,y_3,z_1,z_2,z_3)-c3\ge 0;\\ x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3\ge 0,y_1\ge 0,y_2\ge 0,y_3\ge 0, z_1\ge 0,z_2\ge 0,z_3\ge 0. \end{array} \right. $

Есть предложение, в связи с этим рассмотреть следующую оптим. задачу:
$ F=(f_1-d1)^2+(f_2-d2)^2+\cdots +(f_9(z_1,z_2,z_3)-d9)^2 \quad \to \min $
при указанных ограничениях.

Здесь возникли вопросы:
1) справедлив ли переход (погрешность при решениии системы допустима);
2) выбор численного метода решения оптим. задачи (ограничения наружаться не должны).

В выборе численного метода я остановился пока на методе внутренних штрафов (барьерных функций) или метод SQP.

Хотелось бы услышать мысли по задаче.

[Highwind]

Ну тут, как бы, вы просто ослабляете требование. Т.е. речь идет о том, что ежели ентот ваш минимум будет конечным числом, а не нулем, то тогда ваша исходная задача формально неразрешима.
Так шо вы в любом случае получите либо решение исходной задачи, если она решается, либо наиболее близкое к ней по ср. квадр. отклонению...

[reader_st]

Highwind

В решении данной задачи, повторюсь, очень важно выполнение ограничений. Исходная задача (система) имеет единственное решение, вот это самое решение можно взять в качестве начального приближения, но это все к сути дела не относится. Важен, сейчас, выбор численного метода. Нет ли у кого литературы (русскоязычной) по методу SQP, если я не ошибаюсь, последовательного квадратичного программирования?

[Yuri Gendelman]

reader_st писал(а):

Здесь возникли вопросы:
1) справедлив ли переход (погрешность при решениии системы допустима);

Формально - нет. Строго говоря, Вы должны решить исходную систему из 9 уравнений и проверить ограничения. Если решение им удовлетворяет - задача решена. Если нет - задача не имеет решения. По-моему, Highwind именно это имел в виду.
Введя оптимизационный критерий, Вы формулируете новую задачу, по мотивам исходной. В зависимости от вида критерия Вы можете получить разные оптимизационные задачи и, соответственно, разные решения. Например, можно добавить веса $M_i \geqslant 0$, чтобы учесть разные масштабы в исходных уравнениях и разную их значимость: $F=\sum_{i=1}^9 M_i (f_i-d_i)^2 \to \min$

reader_st писал(а):

Нет ли у кого литературы (русскоязычной) по методу SQP, если я не ошибаюсь, последовательного квадратичного программирования?

Если Ваши функции $f_i$ - не линейные, то квадратичное программирование не годится.

[reader_st]

Yuri Gendelman

Согласен, что используя разные критерии я получу различные задачи, но, если я не ошибаюсь, я просто минимизирую "расстояние" в обычном евклидовом пространстве, а где же еще. Можно рассмотреть и другие метрики, но они же все подобны, повторюсь, здесь важны ограничения.

Методом SQP данную задачу решает Maple, но мне важна теория, а насчет линейности ограничений сказать трудно --- пока, т.к. это только часть задачи, но надо сделаем

[Yuri Gendelman]

reader_st писал(а):

...я просто минимизирую "расстояние" в обычном евклидовом пространстве, а где же еще. Можно рассмотреть и другие метрики, но они же все подобны, повторюсь, здесь важны ограничения.

Метрики конечно подобны, но точность результатов и скорость сходимости может быть разной. Так что лучше использовать априорную информацию, если она есть. Пусть например $10^{-5} < $f_1(...) < 10^{-4}$ и $10^5 < $f_2(...) < 10^6$. Тогда я лично использовал бы $M_1=10^5, M_2=10^{-5}$. Можно также использовать $M_i$ как веса, чтобы учесть значимость разных равенств.

[reader_st]

Yuri Gendelman

Веса-то, можно, но по-моему, это будет уже совсем другая задача. Так что насчет метода решения? При линейных ограничения я планирую остановиться на методе барьерных функций. Получу выполнение ограничений.