Inequality(3)

[man111]

If $a,b,c \in R^{+}$.Then Prove that $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{4}{3}\left(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}\right)$

[horsii]

$\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}$ = $\frac{abc(a^3+b^3+c^3)}{a^2b^2c^2}$=$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$
Так как $a,b,c \in R^{+}$.
Далее
$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$-$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$=$\frac{a^4b+a^4c+b^4a+b^4c+c^4a+c^4b}{abc(ab+bc+ca)}$.
По неравенству Коши-Буняковского (частный случай)
$a^4b+c^4b\geq 2a^2c^2b$
$a^4c+b^4c\geq 2a^2b^2c$
$b^4a+c^4a\geq 2b^2c^2a$
Получаем
$\frac{a^4b+a^4c+b^4a+b^4c+c^4a+c^4b}{abc(ab+bc+ca)}\geq \frac{2a^2c^2b+2a^2b^2c+2b^2c^2a}{abc(ab+bc+ca)}\geq 2$
Но
$\frac{4}{3}(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}) \leq \frac{4}{3}(\frac{ab}{2ab}+\frac{bc}{2dc}+\frac{ca}{2ac})$=$2$
Ч.Т.Д.