Поточечная и равномерная сходимость функций на компакте

[Gortaur]

Еще один несложный вопрос. Последовательность $f_n(x)$ сходится на компакте $E$ к нулю поточечно. Следует ли из этого равномерная сходимость? Попытался идти от противного, построить последовательность точек, в которых $|f_n(x_n)|>\varepsilon$ и потом извле... (как будет деепричастие от извлечь?) сходящуюся подпоследовательность, перейти в пределе... а дальше не знаю что.

[Хорхе]

Не следует. Писать лень, нарисую график:

/\______

(Оффтоп)

Вспомнил детсадовский анекдот:
- Гена, тебе пигоженое или могоженое?
- Мне все рамно, Чебугашка.

-- Чт янв 20, 2011 02:07:35 --

Из поточечной монотонной сходимости на компакте следует равномерная, есличо.

[Dan B-Yallay]

Хорхе в сообщении #402018 писал(а):

Из поточечной монотонной сходимости на компакте следует равномерная, есличо.

Хм. Как насчет такой:

$$f_n(x)=\begin{cases} 0, \ x=0\\ 1, \ x \in (0, \frac 1 n)\\ 0, \ x \in [\frac 1 n, 1] \end{cases}$$

[Хорхе]

Да, все функции in question должны быть непрерывны, забыл написать.