Последовательность множеств

[Хорхе]

Ну $y$, понятно.

[Gortaur]

Пробую доказать, что

$$ A_{n+1} =\{x\in A:K(x,A_n) = 1\}. $$

В одну сторону умею, теперь хочу показать что если $x\in A$ и $K(x,A_n) = 1$ то $x\in A_{n+1}$.

$$ u_{n+1}(x) = \int\limits_E u_n(y)K(x,dy) = \int\limits_{A_n} u_n(y)K(x,dy) = K(x,A_n) = 1. $$

Верно?

[Хорхе]

Ну да, почему сомнения? Мне, честно говоря, удивительно, откуда здесь возникли сложности. Наоборот есть небольшие сложности, это да.

[Gortaur]

Наоборот тоже сомнения были - в другой теме еще ответили...
А вообще помните, была тема, Вы мне неравенство Гельдера подсказали - я там придумал довольно неплохой и оригинальный (надеюсь) способ решать одну задачу, пропустив небольшой момент - при замене меры у меня был процесс $\theta_t$ (которым я снос убирал) у которого в знаменателе мог быть ноль (ну, там было что-то типа $\theta_t = \frac{f(x_t)}{h(x_t)}$) - причем не факт что этот ноль достигается, но в общем дело зашло в тупик, а тем не менее я понял не сразу что там может быть проблема. Сначала не понимал, как это мартингал принимающий значения ноль может оставаться п.н. неотрицательным.
Так что теперь 3 раза сомневаюсь в корректности своих предположений

-- Чт янв 20, 2011 14:20:32 --

Кстати о предположения, насколько вероятно что существует $B\subset A$ такое что
$K(x,B) = 1$ для всех $x\in B$. Нужно дополнительные условия наложить?

-- Чт янв 20, 2011 14:32:31 --

Например, если все $u_n$ непрерывна на $A$, то $A_n$ компактны и предел будет. Будет ли в таком случае выполняться?

[Gortaur]

Точнее, так пусть $A_n$ - компактны, тогда $A_\infty\neq\emptyset$. Верно ли, что для всех $x\in A_\infty$ выполнено $K(x,A_\infty)=1$?