Две окружности

[boyma]

Значит дана окржность радиус которой $R=15$.В ней провели хорду $AB=24$.На хорде отметили точку $C$ так что $BC=2AC$.Надо найти радиус окружности которая касается точки $C$ и второй окружности.
Задача из егэ C4.
Думаю применить теорему о касательной и секущей,но в итоге не получается.

[Sonic86]

boyma писал(а):

Значит дана окржность радиус которой $R=15$.В ней провели хорду $AB=24$.На хорде отметили точку $C$ так что $BC=2AC$.Надо найти радиус окружности которая касается точки $C$ и второй окружности.

Какой второй окружности?

[boyma]

вторая окружность находится внутри первой и касается точки $C$ и больше окружности.

[gris]

Что то с условием. Про окружность обычно говорят, что она проходит через точку, а касается отрезка или прямой. Но даже если касается точки, то в таком виде задача слишком неопределённа.
Уточняйте условие.

[boyma]

В условиях не сказано через какую точку проходит малая окружность.
Тут надо рассматривать два случая т.е когда малая окружность находится по разные стороны от хорды.

[gris]

Может быть она касается хорды в точке $C$?

[boyma]

gris в сообщении #401786 писал(а):

Может быть она касается хорды в точке $C$?

Да

[gris]

Я догадывался...
А нет ли некоторого дуализма между второй и третьей окружностью?
То есть третья тоже касается хорды и первой окружности?

[boyma]

Вообще всего две окружности
первая с заданным радиусом,в которой проведена хорда
вторая находится внутри первой и касается хорды в точке $C$ и первой окружности.

[gris]

Типа этого?

[boyma]

Да именно так

[centra]

boyma
Вы картинку нарисуйте с обозначениями в случае, когда центр большой окружности находится вне малой (случай красной окружности), а я вам по ней попытаюсь объяснить, что делать.

рассматриваем случай "красной окружности":

из центра большой окружности рисуете касательную к малой. получаете точку касания $T$.рассматриваете треугольник, вершинами являются центры наших двух окружностей и точка $T$. для него записываете теорему пифагора и лемму о секущей и касательной. у вас получится два уравнения с тремя неизвестными. последнее уравнение получим так: пусть $a$ искомый радиус, тогда $2a+b= 15$, где $b$- одно из ваших неизвестных (оно будет учавствовать и в уравнении, полученном из теоремы Пифагора, и в уравнении, полученном из леммы). Ваши неизвестные: $a$, $b$ и отрезок, соединяющий центр большой окружности и точку $T$. Уравнений тоже будет три.

[ewert]

Соедините точку касания окружностей $A$ с центром внешней окружности $C$; этот отрезок пройдёт через центр внутренней окружности $B$. Расстояние между точками $B$ и $C$ по горизонтали равно $4$, а по вертикали -- $(8\pm r)$, где $r$ -- радиус внутренней окружности (знак зависит от того, где она -- снизу или сверху). Т.е. просто расстояние $|BC|=\sqrt{4^2+(8\pm r)^2}$, ну и в сумме с $r$ должен получиться радиус внешней окружности, т.е. $15$.

[boyma]

centra
вот мой рисунок

получились вот такие уравнения,где $T$ точка касания :
$(a+b)^2=OT^2+a^2$
$OT^2=b(b+2a)$
$b=15-2a$

но решая эту систему получается что $0=0$

[centra]

по ходу, в процессе решения мы доказали лемму о касательной и секущей=))значит надо третье уравнение еще откуда-то взять... причем даже понятно откуда: значение длины хорды и отношение длин отрезков на ней не использовано.