Предел последовательности функций

[Gortaur]

Пусть множество $A = [-1,1]$ и мера $K(x,B)$ такова что

$$ K(0,\{0\}) = 1 $$

и

$$ K(x,dy) = \frac{2}{x\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{2y^2}{x^2}\right)dy. $$

Дана последовательность функций

$$ u_0(x) = I_A(x) $$

то есть $u_0(x) = 1$ если $x\in A$ и $u_0(x) = 0$ для других $x$. Кроме того

$$ u_{n+1}(x) = I_A(x)\int\limits_\mathbb{R}u_n(y)K(x,dy). $$

Известно, что данная последовательность невозрастает и не меньше нуля - то есть есть предел поточечно, пусть $u(x)$. Хочу найти оценку $u_n(x) - u(x)$ которая конечно убывает с ростом $n$.

-- Вт янв 18, 2011 23:05:35 --

Думаю надо пояснить в чем затруднения. Берем

$$ u_1(x) = I_A(x)\int\limits_A K(x,dy). $$

Так как $K(x,dy)$ - стохастическое ядро, то можно было бы вполне ожидать что для небольшого множества $A$ будет выполняться

$$ K(x,A) \leq a<1 $$

для всех $x\in A$ - и тогда здорово вышла бы экспоненциальная оценка (которая бы показала что последовательность равномерно сходится к нулю, а это кстати не так - сходится точно не к нулю). А все потому, что $K(0,A) = 1$. Вот и думаю - может эту точку можно как-то в вычислениях отделить, но пока идей нет. Помогите разобраться.
Кстати, любопытный факт, если

$$ D_n(x) = u_n(x) - u_{n+1}(x), $$

то

$$ D_n(x) = I_A(x)\int\limits_\mathbb{R}D_{n-1}(y)K(x,dy) $$

то есть удовлетворяет тому же реккурентному отношению, что и сама $u$. Может пригодится.