Определения в анализе: точки прикосновения и предельные

[ean]

Помогите пожалуйста разобраться с тем что такое точки прикосновения и предельные точки.
У меня есть следующие определения:
Пусть $X \subset \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}$. Точка $x$ называется точкой прикосновения, если $\forall U(x): U(x) \cap X \neq \varnothing$, $U(x)$ - окрестность точки $x$.
Пусть $X \subset \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}$. Точка $x$ называется предельной точкой, если выполняется одно из двух эквивалентных условий:

1. $\forall U(x): \mathring U(x) \cap X \neq \varnothing$
2. $\forall U(x): U(x) \cap X $ - бесконечно

Множество точек прикосновения $X$ обозначается $\bar X$.
Множество предельных точек $X$ обозначается $X'$.
Верно ли что:

1. Все предельные точки являются так же точками прикосновения. Ведь если $U(x) \cap X \neq \varnothing$, то и $\mathring U(x) \cap X \neq \varnothing$
2. Не все точки прикосновения являются предельными точками. Например, отдельно стоящая точка - точка прикосновения ($U(x) \cap X = \{x\}$), но не предельная точка ($\mathring U(x) \cap X = \varnothing$)
3. $X=\bar X \cup X'$ - это утверждение у меня записано в лекции, оно и спровоцировало вопросы, мне оно кажется неверным, во-первых, если все предельные точки являются так же точками прикосновения, то смысла в этом утверждении нет, получается, что $X=\bar X$, а во-вторых, для $(a;b)$ точками прикосновения являются все точки $[a;b]$

[Gortaur]

1. верно, но у Вас странный переход - наоборот, из второго следует первое.
2. да
3. Вы правильно рассуждаете

[Хорхе]

Gortaur в сообщении #401562 писал(а):

1. верно, но у Вас странный переход - наоборот, из второго следует первое.

Но вывод при этом сделан правильный.

[Gortaur]

Хорхе
Вы к тому что я слишком строг? Ну так правильный вывод должно идти от правильного решения. А там либо ТС ошибся - либо что более вероятно по дальнейшим рассуждениям - перепутал.

[Dan B-Yallay]

3) Возможно было написано $\partial X=\bar X\cup X'$, где $\partial X$ - граница $X$

[Gortaur]

Dan B-Yallay
Тоже мало хорошего - получается, граница множества совпадает с его замыканием?

[ean]

Gortaur в сообщении #401562 писал(а):

1. верно, но у Вас странный переход - наоборот, из второго следует первое.

Да, извините, я перепутал. Спасибо.
Ещё вопрос, исходя из определения изолированной точки как такой, что для неё $\exists U(x):U(x) \cap \bar X = \{x\}$, следует, что изолированные точки - это только отдельно стоящие точки?

[Хорхе]

А что такое "отдельно стоящие точки"?

[ean]

Хорхе в сообщении #401604 писал(а):

А что такое "отдельно стоящие точки"?

Под отдельно стоящей точкой я имею в виду точку $a$ в множестве вида $\{ a \} \cup (c,d)$, это определение "для себя".

[Gortaur]

Когда даете определения, будьте корректны - отметили бы хоть что $a<c<d$. Насколько я понял, под отдельно стоящей точкой Вы имеете ввиду такую точку $x\in X$ что существует $\dot{U}(x)\cap X = \emptyset$? тогда очевидно определения эквивалентны.

[ean]

Gortaur в сообщении #401637 писал(а):

Когда даете определения, будьте корректны - отметили бы хоть что $a<c<d$. Насколько я понял, под отдельно стоящей точкой Вы имеете ввиду такую точку $x\in X$ что существует $\dot{U}(x)\cap X = \emptyset$? тогда очевидно определения эквивалентны.

спасибо

[ean]

наверное, лектор имел в виду $\bar X = X \cup X'$