Квадратичная форма и дискриминант

[caxap]

Как тип квадратичной формы 2-х переменных (знакоопределённая, полуопределённая или знаконеопределённая) $ax^2+bxy+cy^2$ связан с дискриминантом этого квадратного трёхчлена?

По-моему, по дискриминанту мало что можно сказать

Матрица к. ф. $\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&2\end{pmatrix}$. Если определитель $\Delta=a^2-\dfrac{b^2}4\le 0$, то дискриминант $D=b^2-4ac\ge 0$ и к. ф. вырождена; значит, она не может быть знакоопределённой (но, по-моему, может быть как полу- так и неопределённой). Если $\Delta >0\iff D<0$, то к. ф. может быть любого типа.

[ewert]

caxap в сообщении #401526 писал(а):

По-моему, по дискриминанту мало что можно сказать

Очень даже можно. Скажем, если дискриминант отрицателен, то это выражение, очевидно, нигде не обращается в ноль (кроме начала координат). А тогда форма нигде и не может менять знак. Остальные варианты сами обдумайте.

[caxap]

Если $D<0$, то определитель $\Delta>0$. К. ф. невырождена (не может быть полуопределённой) и знакоопределена (по кр. Сильвестра).
Если $D=0$, то $\Delta=0$. К. ф. вырождена и может быть полуопределённой и неопределённой.
Если $D>0$, то $\Delta<0$. К. ф. невырождена и неопределенная.

[ewert]

caxap в сообщении #401540 писал(а):

Если $D=0$, то $\Delta=0$. К. ф. вырождена и может быть полуопределённой и неопределённой.

Интересно, как это она может быть неопределённой, когда в данном случае это просто полный квадрат (с точностью до множителя)?...

И забудьте Вы, ради бога, про Сильвестров. Это просто нелепо -- приплетать их в двумерной-то ситуации. И ничего подобного от Вас, естественно, не ждут. А ждут просто элементарно школьного анализа квадратного трёхчлена.

[caxap]

ewert в сообщении #401573 писал(а):

Интересно, как это она может быть неопределённой, когда в данном случае это просто полный квадрат (с точностью до множителя)?...

Ах, точно! Спасибо.

ewert в сообщении #401573 писал(а):

И забудьте Вы, ради бога, про Сильвестров.

А как без них? Я как думал: мне нужно связать дискриминант и тип к. ф. Дискриминант можно связать с определителем матрицы к. ф., а определитель -- с типом к. ф. через критерий Сильвестра.

[ewert]

Да забудьте Вы о формальных признаках. Речь же о двумерной ситуации, когда все варианты комбинаций собственных чисел сводятся всего лишь к трём: одного знака, разных знаков и одно из них нулевое. С другой стороны, как учат нас в школе -- и множества возможных значений квадратичной формы тоже могут быть лишь трёх типов: всегда строго одного знака (за исключением начала координат, естественно), всегда одного знака, но на некоторой линии тождественный ноль и в какой-то области одного знака, а в какой-то -- другого. Вот и сопоставьте. Ещё раз: никаких глубоких знаний от Вас в этой задачке совершенно точно не ожидалось.

[Gortaur]

ewert
Вы в какой школе слушали про квадратичные формы?

caxap
То ли я заблудился, то ли Вы. Почему у Вас вместо $c$ стоит 2 в матрице к.ф.?

[ewert]

Gortaur в сообщении #401640 писал(а):

ewert
Вы в какой школе слушали про квадратичные формы?

В школах учат про квадратные уравнения. И этого в данной конкретной ситуации -- вполне достаточно. Имеющий уши -- да увидит. Ну а кому недостаточно -- тот, значит, или не в той школе учился (хотя трудно представить себе столь неадекватную школу, даже по нонешним временам), или -- не так.

[Gortaur]

ewert

(Оффтоп)

Злой я был, DEL

.
Я думал у Вас там билинейные формы были. Наслушался про всякие московские СУНЦы.

[caxap]

Gortaur в сообщении #401640 писал(а):

Почему у Вас вместо $c$ стоит 2 в матрице к.ф.?

очепятка

-----------
Стойте. А разве дискриминантом будет не $(by)^2-4acy^2$ (если рассматривать к. ф. как многочлен от $x$)?

[Sonic86]

caxap
Вы $x^2$ вынесите за скобку, а потом и выбросьте его вообще. А там уж все понятно.

-- Ср янв 19, 2011 15:43:10 --

сахар писал(а):

Стойте. А разве дискриминантом будет не $(by)^2-4acy^2$ (если рассматривать к. ф. как многочлен от $x$)?

Да, только дискриминант многочлена и дискриминант квадратичной формы это, строго говоря, разные вещи, хотя и очень похожие.

[caxap]

Sonic86 в сообщении #401728 писал(а):

дискриминант квадратичной формы

А что такое дискриминант квадратичной формы? (В учебнике такое определение не даётся. Вряд ли в задаче будут его использовать.)

[Sonic86]

Цитата:

Sonic86 писал(а):

дискриминант квадратичной формы

А что такое дискриминант квадратичной формы? (В учебнике такое определение не даётся. Вряд ли в задаче будут его использовать.)

А, ну тогда проблем меньше (хотя в таком случае откуда взялся определитель в первом сообщении?). Тогда используете тот дискриминант, который вычислили.

[caxap]

Ладно. Другой вопрос (не буду новую тему создавать).

Вот имеем к. ф. $x^2+y^2+xy=\left(x+\dfrac y2\right)^2+\dfrac 34 y^2=z_1^2+\dfrac 34z_2^2$. При этом $x=z_1-\dfrac {z_2}2$, $y=z_2$. Матрица преобразования $\begin{pmatrix}1&-1/2\\0&1\end{pmatrix}$ невырожденная. При невырожденном преобразовании хар. многочлен не должен меняться, в частности не должен меняться след (сумма коэф. при квадратах). Но изначально он $1+1=2$, а потом $1+\dfrac 34=\dfrac 74$.

Ещё, если я хочу преобразовать уравнение кривой 2-го порядка к канон. виду, используя выделения полных квадратов, то почему-то получаются неортогональные оси. Напр. в случае той же к. ф. $x^2+y^2+xy$ одна ось будет сонаправлена с вектором $(1,0)$, а вторая -- с $(-\dfrac 12,1)$.

Если же преобразовывать, находя собственные значения ($x^2+y^2+xy=\dfrac 32 z_1^2+\dfrac 12 z_2^2$), то получается всё хорошо: и оси ортогональные ($(1,1),(-1,1)$) и хар. многочлен сохраняется.

Почему с выделением полных квадратов ничего не получается? Где я туплю?

[ewert]

caxap в сообщении #401814 писал(а):

При невырожденном преобразовании хар. многочлен не должен меняться,

Матрицы квадратичных форм изменяются по иному закону, нежели матрицы линейных операторов (эти законы совпадают только при ортогональных преобразованиях, а у Вас это не так).