интеграл лебега

[Gortaur]

Пусть $E,F,\mu$-измеримое пространство, множество $B\in F$ и $\mu(B) = m > 0$. Пусть $f(x)<1$ для всех $x \in B$. Верно ли что

$$ \int\limits_B f(x)\mu(dx) < 1 $$

или выполняется только нестрогое неравенство в общем случае? По-моему, для дискретных и абсолютно непрерывных относительно лебеговой мер выполнено строгое неравенство.
$E\subset R^n$.

[Хорхе]

Неверно при $m>1$. При $m\le 1$ верно.

[Bulinator]

Это не верно уже для случая Риманова интеграла.
Пример
$f(x)=\frac{\sin^2{x}}{2}$ $B=[0,100000]$

[ewert]

Gortaur в сообщении #401397 писал(а):

или выполняется только нестрогое неравенство в общем случае?

Если бы имело место равенство, то было бы $\mu\{x\in B:\,\alpha\leqslant f(x)<\beta\}=0$ для любых $\alpha<\beta<1$. Но тогда было бы и $\mu B=0$, поскольку $B$ получается счётным объединением множеств такого типа.

(Естественно, имеется в виду, что $m=1$, иначе вопрос оказывается праздным.)

[Gortaur]

О, я имею ввиду что мера вероятностная, прошу прощения, причем $m<1$. В таком случае верно?

[ewert]

Поскольку верно для $m=1$ -- тем более верно для $m<1$.

[Gortaur]

А если

$$ E = \bigcup\limits_{i\leq k}\{q_i\}\times E_i $$

То есть структура более сложная и неравенство там меньше m а не меньше 1?

[ewert]

Естественно, в общем случае строго меньше именно $m$. Про структуру -- совсем ничего не понял.

[Gortaur]

Я имел ввиде если Е не просто область в эрэн, а нечто сложнее, вид ч привел

[ewert]

Gortaur в сообщении #401420 писал(а):

вид ч привел

Вид ч именно Вы привели? Обозначения взяты с какого-то потолка, притом непонятно с какого.

[Gortaur]

Простите, с телефона сложно постить
Я имел ввиду если пространство $E$ это не просто подмножество $\mathbb{R}^n$, а имеет более сложную структуру - а именно объединение произведения точечных множеств на области $\mathbb{R}^n$.

[ewert]

Всё равно я не понимаю, что имеется в виду. Тем более, как там вводится мера. Но главное -- что всё это не важно. Если мера уже хоть как-то введена, то Ваше свойство для неё выполняется автоматически. Это следует просто из аксиом меры.

[Gortaur]

Спасибо:-)