Любопытное представление натуральных чисел

[mclaudt]

Любое натуральное число представимо в виде произведения степеней простых чисел. Раскладываем сами степени на произведения степеней простых чисел и т. д.

Получится адски красивая структура. Каждое число - множество точек в бесконечномерном пространстве c дискретными осями из простых чисел и единицы. Например, число $77=7\cdot11$ это две точки с координатами $(7,1,1,...)$ и $(11,1,1,...)$. Число $2^{3\cdot5}\cdot7^{11^{13}}$ есть три точки с координатами $(2,3,1,1,...)$, $(2,5,1,1,...)$ и $(7,11,13,1,1,...)$.

Более того, можно пойти ещё дальше.

На нашей дискретной оси есть риски с именами $1$, $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ и т.д. Применим аналогичную процедуру для индексации простых чисел (единицу не трогаем):

$2$ - $1$-е простое число

$3$ - $2$-е простое число

$5$ - $3$-е простое число

$7$ - $2^2$-е простое число

...

$2129$ - $2^{3\cdot2}\cdot5$-е простое число

...

Очевидно, что и к числам, фигурирующим в разложении по простым числам порядкового номера простого числа тоже можно применить аналогичную процедуру. И применять её до конца, пока не останутся одни единицы.

Тогда, например, число $77=7\cdot11$ это две точки с координатами-множествами на осях бесконечномерного пространства

$(\{(\{(1,1,...)\},\{(1,1,...)\},1,1,...)\},1,1,...)$ и $(\{(\{(\{(\{(1,1,...)\},1,1,...)\},1,1,...)\},1,1,...)\},1,1,...)$.

Наверняка такая конструкция уже где-то используется. Думаю, что она может иметь интересные применения для визуализации или для "геометрических" доказательств каких-нибудь утверждений теории чисел.