интересное тождество (интеграл от x^{-x} в виде ряда)

[Bridgeport]

Требуется доказать:

$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}$

Ничего кроме интегрирования по частям в голуву не приходит.

[ИСН]

Там надо функцию разлагать в ряд как экспоненту, а то, что получится, интегрировать почленно (это отдельный квест).

[Bridgeport]

Ясно, спасибо!

[Gortaur]

Неужто и правда равно А есть еще какие-нибудь совпадения такого рода?

[ИСН]

Ну, такого же рода есть ещё $\int\limits_{0}^{1}x^xdx=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n}$ (проверять лень, пишу по памяти). Нравится?