Дивергенты векторных полей

[Chromocenter]

Если дивергент поля равен нулю, то значит поле консервативно со всеми вытекающими последствиями. Так? А как быть с гравитационым? Что-то не получается, чтобы его дивергент был бы равен нулю, а оно консервативно, это очевидно. В чём тут дело? В его сингулярой точке в центере?
Заранее спасибо.

[Руст]

С чего вы взяли, что дивергентность и консервативность между собой связаны? Это независимые понятия. Например, поле скоростей несжимаемой жидкости имеет нулевую дивергенцию, а в случае наличия вязкости оно не консервативно. Уравнения сжимаемого баротропного газа не дивергентны, но для идеальной жидкости надо полагать консервативны.

[Chromocenter]

Ой, не надо всяких баротропных газов (я не знаю что это такое)!!!
Значит не связаны... А как тогда определить консервативность поля?

[C0rWin]

Если меня не подводит память, то с помощью градиента. Он должен быть равен нулю.

[Chromocenter]

Сомневаюсь: ведь массы в гравитационном поле движуться по его градиэнту. А поле это консервативно

[Руст]

Для осмысленного разговора лучше уточнять, что вы погимаете под этим.
Я под дивергентностью понимаю сохранение фазового объёма вдоль векторного поля, а под консервативностью сохранение некоторой "энергии" вдоль векторного поля (траектории) (в гидродинамике интеграл Бернулли).

[Someone]

Если я ничего не забыл, консервативность векторного поля $\vec F$ означает, что его работа на всех замкнутых контурах равна нулю, а это равносильно потенциальности, то есть, существованию такой функции $\varphi$, что $\vec F=\mathrm{grad}\,\varphi$. Признаком потенциальности при некоторых предположениях служит равенство $\mathrm{rot}\vec F=\vec 0$, то есть, поле должно быть безвихревым, или соленоидальным.

[Руст]

Это для силового поля (я давал для поля скоростей движения). И в этом случае нет никакой связи между консервативностью и дивергентности, т.е. есть поля сил с нулевой дивергенцией но не потенциальные (например магнитная напряжённость), есть и наоборот.

[Chromocenter]

Так что же не для всех полей можно сказать: что величена вектора в конретной точке - это скорость движеня (среды, допустим) или величена действия силы? Или... сокрость или величена силы в данном случае не одно ито же для поля? А как тогда будет различатся форма задания таких полей? Что-то я совсем запутался...
Давайте сначала: задано поле вида:
F = (f(x, y, z)i; f(x, y, z)j; f(x, y, z)k) Для него можно подсчитать дивергент (сумма частных производных x, y, z соответсвено составляющих i, j, k ), градиэнт (пока не очень пойму как), ротор (ну знаете - или он тоже разный бывает?) что ещё? И что из этого будет указывать на то, что поле консервативно или нет? И в частности (в качестве примера) - что указывает на то, что гравитационное поле консервативно?

[незваный гость]

Вы уж все совсем смешали. grad применяют к скалярному полю (потенциалу), div и rot — к векторным полям. При этом термин «поле» здесь — совсем не обязательно физическое поле.

[Chromocenter]

А, поэтому я не мог понять как же считать градиэнт . А что значит "физическое поле"?

[незваный гость]

Chromocenter писал(а):

А что значит "физическое поле"?

Магнитное, гравитационное, сильное взаимодействие, слабое

[Chromocenter]

Ну это ясно, правда плохо представляю как может выглядить такое описание поля для сильного взаимодействия. Ну да ладно с ним - речь не о том. Речь о чисто математическом взгляде на поля.

[Someone]

Chromocenter писал(а):

Ну это ясно, правда плохо представляю как может выглядить такое описание поля для сильного взаимодействия. Ну да ладно с ним - речь не о том. Речь о чисто математическом взгляде на поля.

Чисто математически в данном контексте термин "поле" является синонимом термина "функция" (скалярная, векторная, ...). Обычно термин "поле" употребляется, когда речь идёт о функциях, определённых на линейных пространствах (или на областях в линейном пространстве).

[Chromocenter]

Вот:
F = (f(x, y, z)i; f(x, y, z)j; f(x, y, z)k)
Конечно - над F стрелочка, но из-за этого пользоваться тегом мне как-то сейчас в час ночи...
Чем не векторное поле? Как узнать оно консервативно или нет?