Что такое
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
в
![$10k$ $10k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/5/165a3d2c36978aaf2684b44f365f1b6382.png)
?
-- Пн янв 17, 2011 14:32:58 --Очень просто. Можно даже сделать, чтобы предел равнялся
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
.
Пусть
![$C_m = \{k: n_{k+1}>(1+1/m) n_k\}$ $C_m = \{k: n_{k+1}>(1+1/m) n_k\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/5/9d55a6a10d0542cd1f7cf8b8f2bc105182.png)
. Если все
![$C_m$ $C_m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/2/7428fb1ccefa6464e7415a690870c60682.png)
конечны, тогда все просто: кидаем члены ряда в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
через один, тогда, очевидно, получим требуемое. Предположим поэтому, что хотя бы одно из этих множеств бесконечно (и тогда они все, начиная с какого-то момента, бесконечны, так как возрастают по
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
).
Понятно, что для каждого
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
ряд
![$\sum_{k\in C_m} 1/n_k$ $\sum_{k\in C_m} 1/n_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/e/1be114a652101a77b068325e2b7e090382.png)
сходится (он мажорируется геометрическим). Очевидно также, что существует возрастающая последовательность
![$k_m$ $k_m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/b/97b1b41576a7c3af125dabc6ad1dc03782.png)
, что ряд из остатков рядов сходится:
![$\sum_{m\ge 1}\sum_{k\in C_m, k\ge k_m} 1/n_k<\infty$ $\sum_{m\ge 1}\sum_{k\in C_m, k\ge k_m} 1/n_k<\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/1/7e11eff661da289399bb4918b2370d7082.png)
.
Тогда пусть
![$C = \bigcup_{m\ge 1} \{k: k\in C_m, k\ge k_m\}$ $C = \bigcup_{m\ge 1} \{k: k\in C_m, k\ge k_m\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/c/79c259c9b4c25061c8b8180a770cada982.png)
. Останется бесконечное число индексов, не принадлежащих
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
, ведь сумма по индексам из
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
конечна. Они образуют конечные (так как
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
тоже бесконечно) "островки" в
![$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd661cfefdf4318d1aa35fb483796b282.png)
. Из тех "островков", длина которых нечетна, выкинем в
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
их самые левые элементы. Тогда сумма по индексам из
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
по-прежнему будет конечна (сумма добавленных элементов оценивается сверху предыдущей суммой плюс
![$1/n_1$ $1/n_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/6/2c6aa54116f804b25536d89ac32092fd82.png)
). В получившихся островках индексы будем по очереди кидать то в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, то в
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
.
Вот, собственно, и все.