Геометрия (площади).

[Dimoniada]

В треугольнике $ABC$ с площадью $S$ проведены чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Пусть $K$, $L$, $M$ - точки пересечения $AA_1\cap BB_1$, $BB_1\cap CC_1$ и $CC_1\cap AA_1$ соответственно. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков $AL$, $BM$ и $CK$ равна $\frac S 4$.

[BVR]

Существует аффинное преобразование, переводящее данный треугольник в прямоугольный равнобедренный, $C$ - вершина прямого угла. Вводим прямоугольную систему координат так, чтобы $C (0, 0); A (1, 0); B (0, 1); B_1(0, b); A_1 (a, 0); C_1 (c, 1-c)$ Методом координат находим координаты вершин синего треугольника, а потом находим его площадь. Я нашёл координаты вершин синего треугольника. Если Вы тоже их найдёте - сверимся.
P. S. При аффинных преобразованиях сохраняется отношение площадей частей фигуры (это напоминание)

-- Вс янв 16, 2011 18:41:13 --

Может, конечно, есть и более приличный (синтетический) метод решения.

[Dimoniada]

Координаты середин $AL$, $BM$ и $CK$ у меня получились соответственно $\left(\frac {a+c} {2(a+c-ac)}, \frac {a(1-c)} {2(a+c-ac)}\right)$, $\left(\frac {bc} {2}, \frac {b(1-c)+1} 2\right)$ и $\left(\frac {a(1-b)} {2(1-a)}, \frac {b-a} {2(1-a)}\right)$.
Наверное громоздкие вычисления получатся для площади.
Задача предполагала использование прямой Гаусса (любая из "сторон" синего тр-ика).

[BVR]

Если обозначить синий треугольник PQR, то получается, что вектор PQ имеет координаты:
$(\frac{(1-b)}{b(ab - 1)}+\frac{c - 1}{bc - c + 1}+\frac{1}{b}, \frac{b - 1}{ab - 1}+\frac{b(1 - c)}{bc - c + 1})$,
а вектор PR имеет координаты:
$(\frac{a^2 (bc - c + 1) + a(c - 1) - c}{(c - a(c - 1))(ab - 1)}, \frac{a(b(2c - 1) - c + 1) - bc}{(ab - 1)(a(c - 1) - c)})$

-- Вс янв 16, 2011 20:21:37 --

Не. Что-то у Вас не то с координатами. Я с derive делаю.
Да! то, что я написал - это без множителя $1/2$ (и там и там)
Так вот площадь $PQR$ равна $1/2$ модуля определителя, составленного из координат этих векторов. А он равен (без учёта этих множителей $1/2$) $-1$ (так говорит Дерайв). А, значит, если учесть эти множители, то получим $1/8$. А площадь исходного треугольника равна $1/2$. Ч. т. д.

-- Вс янв 16, 2011 20:24:08 --

ЗЫ $1/2$ из первой строки; $1/2$ из второй строки и перед определителем $1/2.$

-- Вс янв 16, 2011 20:28:33 --

Самое странное, что я нигде не использовал ограничения на $a, b$ и $c$
Это, что ли означает, что можно брать чевианы, падающие и на продолжение сторон?
А, кстати, видимо даже не надо выделять случай, когда эти чевианы в одной точке пересекаются - типа, и пусть себе пересекаются

-- Вс янв 16, 2011 20:32:49 --

Ещё я забыл уточнить, что $P$ - середина $CK$; $Q$ - середина $AL$; $R$ - середина $BM$

[Dimoniada]

BVR в сообщении #400737 писал(а):

Самое странное, что я нигде не использовал ограничения на a, b и c
Это, что ли означает, что можно брать чевианы, падающие и на продолжение сторон?
А, кстати, видимо даже не надо выделять случай, когда эти чевианы в одной точке пересекаются - типа, и пусть себе пересекаются

Абсолютно правильно, а в расчётах я где-то ошиблась наверное, перепроверю.
Да, уравнение $AA_1$ неправильно написала, глупая ошибка Остальное всё верно.