Кронекерово произведение матриц над конечным полем

[spk]

Всем здравствуйте!

Пусть $\underset{n \times m}{A}, \underset{m \times p}{B}$ - матрицы над конечным полем $GF(q)$. Верно ли, что ранг их Кронекерова произведения $\times$ будет равен произведению их рангов: $rank(A \times B) = rank(A) \cdot rank(B)$?

Буду очень признателен за ссылки по этому вопросу.
Спасибо большое.

[kavahox]

да, верно. Это практически очеявидно из определения. Определение можно найти почти в каждой нормальной книжке по алгебре

[spk]

Спасибо за интерес.

Беда заключается в том, что матрицы над конечным полем, а не над полем нулевой характеристики. И здесь могут возникать проблемы вида: при тензорном умножении получаются одинаковые элементы. Также в случае конечных полей SVD разложения не определено. И что делать, если мне нужен ранг, например, над простым подполем?

Как тогда доказать справедливость утверждения?

И еще вопрос: если у матриц $A$ и $B$ соответственно минимальное количество линейно зависимых столбцов равно $d_A$ и $d_B$, то у каковым оно будет у их тензорного произведения?