Уравнение (x+y+z)xyz=u^2

[scwec]

Найти общее решение уравнения $(x+y+z)xyz=u^2$ в рациональных числах предлагается в "Diophantine analysis" R.D. Carmichael ${\S}$4 Exercize 1.(1915 г.)
Ответ: любое решение в рациональных числах можно записать формулами
$x=m(mn-k^2)$
$y=n(mn-k^2)$
$z=k^2(m+n)$
$u=mnk(m+n)(mn-k^2)$,
где $m$, $n$, $k$ - любые рациональные числа, связанные условием $mn-k^2>0$
Возникают естественные вопросы:
1.Верно ли, что переменная $u$ может быть любым рациональным числом?
2. Верно ли то, что рациональных троек $x$,$y$,$z$, через которые выражается $u^2$ бесконечно много?
3.Может ли быть, что таких троек для какого-то значения $u$ конечное число?
Конечно, положительный ответ на 2. исключает вопрос 3.
Привожу пример для $u=1$
$x=\frac {18} {5}$, $y=\frac {2} {5}$, $z=\frac {1} {6}$
$x=\frac {96} {65}$, $y=\frac {39} {40}$, $z=\frac {10} {39}$
и т.д.
Не исключено, что где-то возникнет периодическая траектория.

[scwec]

Хочу сформулировать свои вопросы в другом ключе.
Можно доказать, что если $x=p, y=q, z=r $ - решение уравнения $(x+y+z)xyz=u^2$ для фиксированного $u$, то три эллиптических кривые
$Y^2=X^3+\frac{u^2-p^2r^2} {pr}X^2-u^2X$
$Y^2=X^3+\frac{u^2-q^2r^2} {qr}X^2-u^2X$
$Y^2=X^3+\frac{u^2-p^2q^2} {pq}X^2-u^2X$
каждая содержит не менее 8 рациональных точек с $Y\ne0$
Вопрос 1. из предыдущего сообщения переформулируется так:
Верно ли, что для $\forall$ рационального $u$ $\exists$ рациональные $p$, $q$,$r$ такие, что все 3 перечисленные эллиптические кривые несут на себе рациональные точки с $Y\ne0$?
Вопрос 2. Верно ли то, что таких троек $p$, $q$, $r$ для фиксированного $u$ бесконечно много?
Приведу пример трех эллиптических кривых для $u$=1
$Y^2=X^3+\frac{16} {15}X^2-u^2X$
$Y^2=X^3-\frac{671} {900}X^2-u^2X$
$Y^2=X^3+\frac{224} {15}X^2-u^2X$
В отношении ранга указанных кривых вопрос остается пока открытым...