Интерполяция функции нескольких переменных

[Portnov]

Ищется «хорошая» (ну, хотя бы, гладкая или дважды гладкая) функция $\varphi: X\subset\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ (наиболее интересны случаи m=2, m=3), удовлетворяющая серии уравнений вида

$$(\varphi(x_i)-\varphi(x_j))^2 = d_{ij}$$

при $i=1\dots N$, $j=1\dots N$ (N — порядка пары сотен). $x_i\in X$ — известные векторы, $d_{ij}$ — известные числа. Значения функции $\varphi$ интересны в той же области X, в которой расположены точки $x_i$ («между» ними). В каком виде искать/получать эту функцию — не принципиально, например, можно в виде многочлена по типу многочлена Лагранжа, или какой-нибудь дробно-рациональной функции, или как получится.

Интересует: 1) при каких условиях решение такой задачи существует, 2) при каких условиях оно единственно, 3) собственно методы нахождения такой функции $\varphi$. Если такая функция не единственная — подойдёт любая.

[mihiv]

К пункту 1),наверное.Должно выполняться "неравенство треугольника":$\sqrt {d_{ij}}\leqslant \sqrt {d_{ik}}+\sqrt {d_{jk}}.$

[ИСН]

Да какое неравенство. Тут равенство будет, типа $d_{ij}= (\sqrt{d_{ik}}\pm\sqrt {d_{jk}})^2$ - это, в смысле, если у нас условия заданы для всех пар (i,j).

[Portnov]

Да, получается упомянутое ИСН равенство. Кроме того, про единственность у меня пока получается следующее. Предположим, некоторая ф-ция $\varphi(x)$ является решением задачи. Тогда и функция $\varphi(x)+C$ для любого $C\in\mathbb{R}$ тоже будет решением (ведь в условиях речь идёт только о приращениях функции). Так что, видимо, никакой единственности тут нет — получится что-то типа общего решения дифференциального уравнения, «с точностью до константы». Ну и пусть. Ищем любое из этих решений.

Вот ещё следующая идея появилась. Раз ищем любое решение, будем искать такое, для которого $\varphi(x_0)=0$. Тогда некоторые из исходных уравнений примут вид $\varphi^2(x_i)=d_{i0}$. Если в таких уравнениях извлекать из обеих частей квадратные корни, то получится $2^N$ способов расстановки знаков. Наверное, не все из этих расстановок будут удовлетворять равенству, упомянутому ИСН. Но только ли одно?... А может, все?... И можно ли как-то сразу часть вариантов отбросить, а то проверять порядка $2^{100}$ вариантов на то равенство — скорее всего, слишком долго?...

Если кто-нибудь видит ошибки в рассуждениях, указывайте на них, плиз...

[ИСН]

1. Если бы имелись значения функции во всех этих точках, то всё просто и многократно описано в литературе.
2. Если бы имелись только разности, то: проверяем их тройными соотношениями на согласованность, принимаем от балды значение в одной точке, в остальных - выражаем через неё, и см. п.1.
3. А если как у Вас (квадраты разностей), то: проверяем их тройными соотношениями на согласованность, заодно получая связь между знаками корней, потом принимаем знак одного корня от балды, остальных - выражаем через него, и см. п.2.