Квадраты в арифметической прогрессии

[juna]

Мне кажется, что в моих рассуждениях для двух последних уравнений можно найти модуль, по которому при взаимнопростых $p_1,q_1,p_2,q_2$ они одновременно не могут быть разрешимы. Интересно, что почти с точностью до обозначений приведенные maxalом элементарные доказательства, в самом начале совпадают с моими рассуждениями.
Руст, спасибо за интересные задачи
Maxal, спасибо за интересные ссылки