Автоморфизмы и перестановки

[Профессор Снэйп]

Для $A, B \subseteq \mathbb{N}$ пишем $A \subseteq^\ast B$, если $A \subseteq B \cup D$ для некоторого конечного $D \subseteq \mathbb{N}$. Пишем $A =^\ast B$, если $A \subseteq^\ast B$ и $B \subseteq^\ast A$.

Пусть $\mathcal{E}$ --- счётное семейство подмножеств $\mathbb{N}$, замкнутое относительно объединений, пересечений, содержащее все конечные множества и все дополнения к конечным множествам (то есть $\varnothing \in \mathcal{E}$, $\mathbb{N} \in \mathcal{E}$ и для любых $A, B \in \mathcal{E}$ и конечного $D \subseteq \mathbb{N}$ выполнено $(A \cap B) \setminus D, A \cup B \cup D \in \mathcal{E}$) . Пусть $f : \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ --- такое отображение, что

1) Для любого $A \in \mathcal{E}$ существует $B \in \mathcal{E}$, такое что $f(B) =^\ast A$.

2) Для любых $A, B \in \mathcal{E}$ справедливо $A \subseteq^\ast B \Leftrightarrow f(A) \subseteq^\ast f(B)$.

(Другими словами, $f$ есть автоморфизм решётки $\mathcal{E}^\ast$, получаемой факторизацией решётки $\mathcal{E}$ по модулю конечных множеств.)

Доказать, что существует перестановка $h$ натурального ряда, такая что $A \mapsto h(A) = \{ h(a) : a \in A \}$ --- перестановка $\mathcal{E}$ и $h(A) =^\ast f(A)$ для любого $A \in \mathcal{E}$.