Линейная зависимость функций

[Alfucio]

Здравствуйте!

Линейно зависимы ли две функции:
$\begin{array}{l} {f^1}(t) = (1,t,{t^2})\\ {f^2}(t) = (t,t,\ln t) \end{array}$?

Мне кажется, что здесь элементарно: данные функции не являются линейно зависимыми, так как $f_1^1,f_1^2$ не являются линейно зависимыми (доказывается тривиально). Подскажите, пожалуйста, так ли это? (Или не все так просто?..)

[ewert]

Alfucio в сообщении #398861 писал(а):

Мне кажется, что здесь элементарно: данные функции не являются линейно зависимыми, так как $f_1^1,f_1^2$ не являются линейно зависимыми (доказывается тривиально). Подскажите, пожалуйста, так ли это? (Или не все так просто?..)

Да, действительно так, и действительно тривиально. Но есть один нюанс:

Alfucio в сообщении #398861 писал(а):

Линейно зависимы ли две функции:

-- так по-русски не говорят. Надо: "зависимы ли линейно?..." или, более формализованно: "являются ли линейно зависимыми?...".

[Padawan]

Тут линейную зависимость можно двумя способами понимать 1) коэффициенты - константы 2) коэффициенты могут зависеть от $t$. В первом случае Вы правильно рассудили. А во втором надо найти ранг матрицы $\left(\begin{array} {ccc} 1&t&t^2\\t&t&\ln t\end {array}\right)$.

-- Ср янв 12, 2011 21:57:40 --

В первом случае также достаточно указать хотя бы одно значение $t$, при котором ранг равен $2$.

[ewert]

Padawan в сообщении #398909 писал(а):

А во втором надо найти ранг матрицы

Какой ещё ранг и зачем вообще, когда речь о функциях?...

[Padawan]

ewert
Согласитесь, что достаточно указать одно значение $t$, при котором вектора $f^1(t), f^2(t)$ линейно независимы, чтобы сделать вывод, что вектор-функции линейно независимы.

[ewert]

Padawan в сообщении #398924 писал(а):

Согласитесь, что достаточно указать одно значение

Я бы и согласился, но согласитесь, ещё достаточнее указать на очевидную линейную независимость функций по их первой компоненте, на что, собственно, ТС и указал.

[Padawan]

Согласен

[ewert]

(Оффтоп)

Это, скорее всего, задачка из какого-то теста, а в тестах модно подсовывать вопросы, на которые тестируемй должен отвечать сходу, исходя просто из здравого смысла (ну и понимания определений, конечно). И тогда она вполне разумна. Если же просто учебная -- то нелепа.

[Alfucio]

ewert в сообщении #398939 писал(а):

(Оффтоп)

Это, скорее всего, задачка из какого-то теста, а в тестах модно подсовывать вопросы, на которые тестируемй должен отвечать сходу, исходя просто из здравого смысла (ну и понимания определений, конечно). И тогда она вполне разумна. Если же просто учебная -- то нелепа.

(Оффтоп)

Вы абсолютно правы, так и есть :).

Спасибо!

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #398909 писал(а):

А во втором надо найти ранг матрицы...

$f_1(t)f_2(t) - f_2(t)f_1(t) = 0$

Да, чтоб о линейной зависимости говорить, надо поле скаляров выделить. Функции, кстати, откуда куда? Судя по наличию логарифма, из $\mathbb{R}_+$ в $\mathbb{R}$. Плохо, что $\ln 1 = 0$, но вроде и тут можно поле ввести. Говорят же о поле частных кольца многочленов... Детали не помню уже