Дополнить вектор до ортонормированной системы

[Bars]

Дан вектор $ a $ с коэффициентами из $ \mathbb Q $, причем $ |a|=1 $. Требуется найти ортогональную матрицу $ A $ с коэффициентами из $ \mathbb Q $, для которой $ a $ был бы в первой строчке.
Говорят, это можно сделать с помощью преобразований Кэли и многими другими способами. Как решить такую задачу с помощью карандаша на листочке?

[Padawan]

в нормальной плоскости надо найти вектор единичной длины с рациональными координатами. Тогда третий найдется как векторное произведение двух найденных.
Пусть исходный вектора $a=(A,B,C)$. Уравнени нормальной плоскости $Ax+By+Cz=0$. Значит, нам надо найти рациональное решение системы $Ax+By+Cz=0, x^2+y^2+z^2=1$. Пусть из первого $z=px+qy$, $p,q\in\mathbb Q$. Подставляем во второе, получаем $x^2+y^2+(px+qy)^2=1$. По-моему не факт, что существует решение в рациональных числах.

[Bars]

Пространство не обязательно 3-мерное

[Padawan]

А Вам какое надо?

[Bars]

Пространство произвольной заданной размерности

[Padawan]

Дак там еще хуже будет, чем в $\mathbb Q^3$.

[Bars]

post399117.html#p399117