Разложить в ряд Лорана (ТФКП)

[mosya12345]

Добрый вечер! Нужна помощь.
Найти разложение функции в ряд Лорана по степеням (z-a) в кольце D
$\frac {1}{(z^2+1)(z+2)}, a=0, D=\left \{z, z\in C: |z|>4\right\}$
Не судите строго, но вот что я знаю
Что я знаю:
1. Необходимо представить функцию в виде суммы элементарных дробей. Так?
$f(z)=\frac{1}{5}(\frac{1}{z-2}-\frac{z+2}{z^2+1})$
2. А дальше нужно знать ряд Тейлора для каждой дроби.
$\frac{1}{z-2}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{2}{z}}=$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{z^{n+1}}$
А что с дробью $\frac{z+2}{z^2+1}$?
3. Потом все сложить.
Так? Ассы зацените.

[paha]

mosya12345 в сообщении #398464 писал(а):

А что с дробью $\frac{z+2}{z^2+1}$?

ну также: $z^2$ выносите из знаменателя

[mosya12345]

paha в сообщении #398470 писал(а):

ну также: выносите из знаменателя

Что значит выноси, да еще из знаменателя?

-- Ср янв 12, 2011 00:07:49 --

А можно так?
$\frac{z+2}{z^2+1}=\frac{z+2}{(z-i)(z+i)}$

[Dan B-Yallay]

$\dfrac 1 {1+z^2}=1-z^2+z^4-z^6+...$
-- Вт янв 11, 2011 17:08:34 --

mosya12345 писал(а):

Что значит выноси, да еще из знаменателя?

mosya12345 писал(а):

$\dfrac 1 {z-2}=\dfrac 1 {z(1-\frac 2 z)}$

[mosya12345]

Проверьте.
Найти разложение в ряд Лорана $\frac{1}{(z^2+1)(z+2)}$ и т.д. см. выше.
Решение.
Представляем функцию в виде степеней $z$
Преобразовываем ее
$f(z)=\frac{1}{5}(\frac{1}{z-2}-\frac{z+2}{z^2+1})$
Функцию $\frac{1}{z-2}$ раскладываем по степеням $z$
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{z^{n+1}}$
Функцию $\frac{z+2}{z^2+1} раскладываем по степеням $z$
$\frac{z+2}{z^2+1}=\frac{z+2}{z^2(1+\frac{1}{z^2})}= $\frac{z+2}{z^2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{z^{2n}}=$
$=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{z^{2n+1}}+2 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{z^{2n+2}}$

Ответ:
$f(z)=\frac{1}{5}$$(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{z^{n+1}}-$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{z^{2n+1}}-2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{z^{2n+2}})$