Стабильность периодического решения.

[moscwicz]

нет, этим я не занимаюсь

[ewert]

Gortaur в сообщении #398697 писал(а):

Причем я знаю одно из решений - производная самого $(\cos{t},\sin{t})$.

Т.е. $\begin{pmatrix}-\sin t\\ \cos t\end{pmatrix}$. Это решение периодично, т.е. один из мультипликаторов равен единице, и это уже означает, что нет, во всяком случае, асимптотической устойчивости.

Далее, согласно формуле Лиувилля для этой матрицы определитель матрицы монодромии равен единице и, значит, оба мультипликатора равны единице. Это означает, что даже просто устойчивость будет лишь тогда, когда матрица монодромии равна единичной. Честно говоря, я не помню, возможно ли это в мало-мальски нетривиальной ситуации (в данном-то примере это, конечно, не так, как показывает явный счёт).

Теперь по нахождению второго решения. Пусть $d(t)\equiv\det Y(t)$, где $Y(t)$ -- это разрешающая матрица, т.е. фундаментальная матрица системы, равная единичной при $t=0$. Эта функция явно выписывается по формуле Лиувилля. В нашем случае для неизвестного второго решения $\begin{pmatrix}u(t)\\ v(t)\end{pmatrix}$ получается уравнение $\left|\begin{matrix}u(t)&-\sin t\\ v(t)&\cos t\end{matrix}\right|=d(t)$. Формально говоря -- это линейное неоднородное уравнение, и его общим решением будет $\begin{pmatrix}u(t)\\ v(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_0(t)\\ v_0(t)\end{pmatrix}+\alpha(t)\cdot\begin{pmatrix}-sin t\\ \cos t\end{pmatrix}$, где $\begin{pmatrix}u_0(t)\\ v_0(t)\end{pmatrix}$ -- какое-либо частное (не важно как выбранное) решение и $\alpha(t)$ -- произвольная функция. (Синусы и косинусы тут пока что вообще-то не при чём, просто не хотелось вводить лишних обозначений.) После подстановки этого выражения в систему там много чего посократится, и останется некое явное выражение для $\alpha'(t)$, т.е. $\alpha(t)$ восстанавливается прямым интегрированием. (Формально там вроде бы будет два уравнения, но неизвестная функция-то одна, так что эти два уравнения обязательно окажутся эквивалентными.)

Так вот, здесь $d(t)=e^{\int_0^t\mathop{\mathrm{Tr}}A(s)\,ds}\equiv1$, и очевидным частным решением будет $\begin{pmatrix}u_0(t)\\ v_0(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos t\\ \sin t\end{pmatrix}$, после чего подстановка в систему приводит к $\alpha(t)=-t$ (с точностью до постоянного слагаемого, естественно). Т.е. вторым решением будет $\begin{pmatrix}\cos t+t\,\sin t\\ \cos t-t\,\sin t\end{pmatrix}$. Никакой устойчивости, естественно.