Можно ли использовать Теорему Лагранжа о четырёх квадратах?

[Xenia1996]

Можно ли использовать Теорему Лагранжа (о четырёх квадратах) в школьных олимпиадах?

Тут вот такая задачка попалась:

Найти все натуральные числа, которые могут быть представлены единственным способом (с точностью до перестановки мест слагаемых) в виде суммы пяти или менее квадратов целых чисел.

Так и подмывает использовать Теорему Лагранжа о четырёх квадратах, тогда очень легко решается.
Но вот разрешено ли? Или доказывать её надо (мне известно лишь доказательство самого Лагранжа, весьма объёмное, на олимпиаде не напишешь)?

А может, можно неким образом без Лагранжа обойтись?

=======================
С Лагранжем я вот так решила:

Если натуральное число n равно 30, то имеет (хотя бы) два различных представления в виде суммы пяти или менее квадратов целых чисел: 5^2+2^2+1^2 и 3^2+3^2+2^2+2^2+2^2.

Если же n не равно 30, но превышает 16, то в его лагранжевом представлении (то бишь, в виде суммы четырёх квадратов) отсутствует хотя бы одно из чисел {1^2, 2^2, 3^2, 4^2}, и тогда можно записать n с помощью лагранжева представления числа, меньшего n на отсутствующее число, а затем добавить само отсутствующее число.

Например, лагранжево представление числа 100 будет 7^2+7^2+1^2+1^2.
Мы видим, что число 2^2=4 не находится в этом представлении, значит отнимаем от 100 четвёрку, пишем лагранжево представление числа 96, а потом добавляем к нему ту четвёрку, которую отняли до этого.

Таким образом я доказала, что любое натуральное число, превышающее 16, имеет хотя бы два представления: одно - лагранжево, другое - нет.

Осталось лишь проверить (в"ручную") все натуральные числа меньше 17.
Убеждаемся, что лишь числа 1, 2, 3, 6, 7 и 15 являются ответом на задачу.

=======================
А теперь помогите мне, пожалуйста, решить без Лагранжа.
Заранее благодарна!

[Sonic86]

Xenia1996 писал(а):

Можно ли использовать Теорему Лагранжа (о четырёх квадратах) в школьных олимпиадах?

Не знаю как где, а теорему Лагранжа у нас на лекции по ТЧ не упоминали. Т.е. вообще нигде никогда не упоминали. Да и о единственности представления простого в виде суммы двух квадратов тоже. Т.е. использовать скорее всего нельзя

(Оффтоп)

жаль, но теорему Дирихле о простых тоже нельзя использовать

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #398009 писал(а):

Xenia1996 писал(а):

Можно ли использовать Теорему Лагранжа (о четырёх квадратах) в школьных олимпиадах?

Не знаю как где, а теорему Лагранжа у нас на лекции по ТЧ не упоминали. Т.е. вообще нигде никогда не упоминали. Да и о единственности представления простого в виде суммы двух квадратов тоже. Т.е. использовать скорее всего нельзя

(Оффтоп)

жаль, но теорему Дирихле о простых тоже нельзя использовать

И с помощью чего же в таком случае решать?