Интеграл

[SHKVal]

Возникла проблема с

$\int\frac {dx} {(cos(x))^4}$

Пробовал по частям - получается много внеинтегральных слогаемых и подынтегральное выражение не особо упрощается.

[paha]

интегралы вида

$$ \int R(\cos{x},\sin{x})dx, $$

где $R$ -- рациональная функция, сводятся к стандратным универсальной подстановкой $t=\tg{(x/2)}$

[gris]

Я бы попробовал просто тангенс. Там его производная видна

[paha]

gris в сообщении #397904 писал(а):

Я бы попробовал просто тангенс. Там его производная видна

не... вот если б четная степень, тогда да

[gris]

А четыре это нечётное число?

[paha]

gris в сообщении #397931 писал(а):

А четыре это нечётное число?

а... да:) Мне, почему-то, показалось, что там 5

Но пусть лучше ТС выучит стандартную подстановку

[SHKVal]

Дошёл до

$\int\frac {dt} {(1+t^2)^3}$

Дальше опять застрял

[ИСН]

Слушайте, ну уж рациональные-то функции, казалось бы...

[ewert]

ИСН в сообщении #397986 писал(а):

Слушайте, ну уж рациональные-то функции, казалось бы...

Вот именно что "казалось бы". Искателям на свою мягкую часть приключений.

paha в сообщении #397932 писал(а):

Но пусть лучше ТС выучит стандартную подстановку

Пусть лучше временно забудет -- для конкретно этого вида интегралов. А то вот и получается:

SHKVal в сообщении #397983 писал(а):

Дошёл до
$\int\frac {dt} {(1+t^2)^3}$
Дальше опять застрял

Было же чётко предложено: сделать замену $t=\tg x$. Тогда, как со школы известно, $\cos^2x=\ldots$, и при этом $dx=d(\arctg t)=\ldots$. Это, между прочим, тоже стандарт, который нужно твёрдо знать (для случаев, когда суммарные степени синусов и косинусов чётны).

[SHKVal]

Цитата:

Было же чётко предложено: сделать замену $t=tg(x)$ .

Сделал замену, получил:

$t=tg(x); x=arctg(t); dx=\frac {dt} {1+t^2}$

$(cos(x))^2=1+(tg(x))^2$, поэтому $(cos(x))^4=(1+(tg(x))^2)^2$

в итоге под интегралом получилось $\frac {1} {(1+t^2)^2)}$ и ещё диффренциал $\frac {dt} {1+t^2}$

[gris]

Ошибка в формуле. Косинус в минус второй равен тому, что Вы написали.

[SHKVal]

Упс, точно

Тогда там получается просто квадрат суммы 1 и tg(x), и получается довольно простой интеграл.

Всем спасибо =)