Помогите разобраться пожалуйста

[Stotch]

$w=e^{i\alpha}\frac{z-z_0}{z-\overline{z_0}}$-у меня написано :
это дробно линейное отображение верхней полуплоскости на единичный круг с центром в точке 0
при этом точка $z=z_0 $ полуплоскости $(Imz_0>0)$ переводится в центр w=0 круга,$\alpha$-любое действительное число
Объясните пожалуйста:
1)что это за точка $z_0$?Т.е у верхней полуплоскости существует 1 точка которая переходит в центр или их может быть несколько?
2) почему полуплоскость $(Imz_0>0)$ разве не просто z должно быть?
3)И что это за $\alpha$?Что он вообще определяет? и почему оно м.б любым?
4)И как они вообще эту формулу вывели?

[ewert]

Если подставить в дробь вещественное $z$, то числитель будет сопряжённым к знаменателю и, следовательно, иметь тот же модуль, т.е. модуль дроби будет равен единице. Другими словами, вещественная ось переводится в единичную окружность и, соответственно, верхняя полуплоскость -- в единичный круг, во внутренность же круга (а не во внешность) потому, что знаменатель нигде не обращается в ноль (именно для этого мнимая часть $z_0$ положительна). Множитель $e^{i\alpha}$ просто дополнительно поворачивает этот круг на угол $\alpha$.