Операции над векторами, не зависящие от базиса, "хорошие"

[alisa-lebovski]

Существуют ли бинарные операции над векторами в $n$-мерном пространстве, коммутативные и ассоциативные, не зависящие от базиса, кроме сложения?

[moscwicz]

Пучть $x=(x^i),y=(y^i)$ -- векторы заданные координатами и бинарная операция $(x*y)^j=x^iy^kc^j_{ik}$. Если $c^j_{ik}$ -- тензор, то определенная так операция не зависит от базиса. Этот тензорм называется тензором структурных констант алгебры, которая у нас возникла. Теперь накладывайте на него условия чтобы операция $*$ была коммутативной и ассоциативной.

[alisa-lebovski]

А не получится так, что если наложить условия, это приведет к тривиальному результату?

[mihailm]

alisa-lebovski в сообщении #397341 писал(а):

Существуют ли бинарные операции над векторами в $n$-мерном пространстве, коммутативные и ассоциативные, не зависящие от базиса, кроме сложения?

сложение умножить на 2

[Null]

Можете формализовать независимость от базиса?

[alisa-lebovski]

Цитата:

сложение умножить на 2

Не ассоциативно: $2(2(a+b)+c)$ не равно $2(a+2(b+c))$

Цитата:

Можете формализовать независимость от базиса?

Мне кажется, это очевидно. Из двух векторов получается новый вектор.
Какие у них координаты, не важно.

[Null]

$xGy=f^{-1}(f(x)+f(y))$ где $f$ - автоморфизм.

[mihailm]

alisa-lebovski в сообщении #397361 писал(а):

Цитата:

сложение умножить на 2

Не ассоциативно: $2(2(a+b)+c)$ не равно $2(a+2(b+c))$

наврал признаю))

[VAL]

alisa-lebovski в сообщении #397341 писал(а):

Существуют ли бинарные операции над векторами в $n$-мерном пространстве, коммутативные и ассоциативные, не зависящие от базиса, кроме сложения?

$f(a,b)=const$.

PS: Почитал тему дальше. Вам, оказывается нетривиальные операции подавай! А что же сразу не сказали?

[paha]

alisa-lebovski в сообщении #397341 писал(а):

не зависящие от базиса

так можно определить операцию в некотором базисе...

для операции $(xy)_i=x_iy_i$ (в некотором базисе)
можно дать инвариантное определение... А именно,

$\mathbb{R}^n$ с такой операцией изоморфно прямой сумме $n$ экзампляров $\mathbb{R}$ с покомпонентной операцией умножения

[moscwicz]

alisa-lebovski в сообщении #397350 писал(а):

А не получится так, что если наложить условия, это приведет к тривиальному результату?

нет не получится, получится несколько (в зависимости от размерности) неизоморфных алгебр. В литературе по диф. геому и по теории представлений эти алгебры расклассифицированы (ссылки дать не могу, не мой профиль, кое-что написано у Дубровина Новикова Фоменко в книжке по диф. геому). Достаточные условия неизоморфности таких алгебр формулируются в терминах инвариантов структурного тензора.

[paha]

Вот общая конструкция (прямой суммы): если на векторных пространствах $V_1$, $V_2$ есть коммутативные ассоциативные операции $\ast_i:V_i\times V_i\to V_i$, то на прямой сумме $V_1\bigoplus V_2$ можно ввести операцию

$$ (v_1\oplus v_2)\ast(u_1\oplus u_2)=(v_1\ast_1u_1)\oplus(v_2\ast_2 u_2) $$

[svv]

$x*y=x+y+c$, где $c$ -- постоянный вектор.

[paha]

Так и на $\mathbb{R}^3$ можно таким образом ввести коммутативное умножение $\mathbb{C}\oplus\mathbb{R}$