Пределы и формула Тейлора.

[untoter]

Помогите пожалуйста решить такой предел, используя формулу Тейлора.
$\lim((ln\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}})/ln^2(\frac{x+1}{x-1})) x стремится к бесконечности.

[gris]

я бы сначала числ. и знам. всех дробей поделил на икс.

[untoter]

А дальше?

[gris]

дальше можно сделать замену игрек равно икс в минус первой. игрек будет стремиться к нулю и все выражения примут очень даже пригодный для применения формулы вид. в первом логарифме потом ещё на два вроде бы можно поделить. извиняюсь за ненабор формул.

[untoter]

Вот я получил конструкцию ряд/ряд. Подскажите пожалуйста что делать дальше(в формуле Тейлора не силен)? Неужели приводить члены рядов к общему знаменателю и т.д?

[gris]

там достаточно по паре членов брать для каждой функции. что у вас получилось то? тейлор для корня и логарифма со смещённым на единицу аргументом.

[untoter]

числитель: $\frac{y^2}{2}+\frac{5y^2}{48}+\frac{63y^10}{1280}+\frac{429y^14}{14336}+\frac{12155y^18}{589824}+O(y^19))$
знаменатель: $2y+\frac{2y^3}{3}+\frac{2y^5}{5}+\frac{2y^7}{7}+\frac{2y^9}{9}+O(y^10)$
в числителе О в 19 степени, в знаменателе в 10 (не хочет в формуле двузначные числа в степень писать).
Для получения рядов использовал калькулятор.(http://www2.wolframalpha.com/)

[gris]

а куда единички делись? а, это уже вместе с логарифмом. знаменатель в квадрат не возвели. а так правильно.не надо брать степени больше второй. возводите в квадрат и сокращайте.

[untoter]

Брал ряд для всего логарифма и того, что в числителе, и того, что в знаменателе.[url]http://www2.wolframalpha.com/input/?i=ln%28%281%2Bsqrt%281%2By^2%29%29%2F%281%2Bsqrt%281-y^2%29%29%29+Taylor+series+at+y%3D0[/url]

[gris]

ну видно, что логарифм без квадрата. а что же без вольфрама никак? посмотрите эквивалентности для корня, квадратного корня. и примените свойство логарифм частного равен разности логарифмов.

[untoter]

Все получилось, спасибо!