Подмодули и инваринтные подпространства.

[zluka]

(V,a)-пространство с оператором над полем К
Ему как известно можно сопоставит левый R модуль V, где R=K[x]-многочлены с коэффицентами из К
Докажите, что Существует биекция между множеством всех подмодулей и всех (a-)инвариантных подпространств.
Каюсь в свой тупости ибо кажется что это несложно, но у меня не получается(

[Xaositect]

Ну подмодуль - это подпространство модуля, которое само является модулем.
В данном случае - это подпространство, векторы которого остаются в нем же под действием любого оператора $\sum c_i a^i$. Осталось доказать, что пространство инвариантно для $a$ т.и т.т.,к. оно инвариантно относительно любого оператора-многочлена $P(a)$. В одну сторону это очевидно, и в другую тоже :)

[zluka]

Все так. Сейчас... Я правильно понимаю что
$ P(a)=\sum c_i a^i ?$.
Если оно инвариантно относительно a, то почему умножение на с_i ничего не меняет?
а в другую P(a):=a - вроде так?

[Xaositect]

zluka в сообщении #396980 писал(а):

Все так. Сейчас... Я правильно понимаю что
$ P(a)=\sum c_i a^i ?$?

Да

Цитата:

Если оно инвариантно относительно a, то почему умножение на с_i ничего не меняет?

Ну смотрите. Определение инвариантного подпространства: $\forall v\in V av \in V$. Тогда $a^2 v$ тоже принадлежит $V$, $a^3 v$ тоже, и т.д. а раз $a^i v$ принадлежит, то и $(c_i a^i) v = c_i (a^i v)$ тоже принадлежит, и $(\sum c_i a^i) v = \sum c_i (a^i v)$ тоже (у нас же подпространство).

Цитата:

а в другую P(a):=a - вроде так?

Да.

[zluka]

Спасибо.