Доказать сходимость обобщенной функции

[Aiga]

Помогите, пожалуйста, доказать сходимость в пространстве $D'(\mathbb R)$:
$P\frac{cos (nx)}{x}\mapsto0$ при n стремится к бесконечности, где
$<P\frac{cos (nx)}{x},g(x)>=Vp\int\frac{cos (nx)}{x}g(x)dx$, где g из пространства $D(\mathbb R)$.
Сначала надо бы расписать так:
$<P\frac{cos (nx)}{x},g(x)>=Vp\int\frac{cos nx}{x}g(x)dx=$
$=2\lim\int{cos (nx)}g'(x_0)dx$
но как потом оценивать интеграл в правой части не понятно. Через два дня экзамен, очень надеюсь на вашу помощь.

[moscwicz]

во-первых $g\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$, во-вторых разбиваем $g$ на сумму четной и нечетной функций

[Aiga]

moscwicz в сообщении #396945 писал(а):

разбиваем $g$ на сумму четной и нечетной функций

Спасибо за быстрый ответ. Напишите, пожалуйста, подробнее как это сделать и что из этого получиться.

[Dan B-Yallay]

$g_1=\dfrac{g(x)+g(-x)}2$ четная

$g_2=\dfrac{g(x)-g(-x)}2$ нечетная

[Aiga]

Я написала была таким образом (неправильно, но идея вроде должна быть такая):
$<P\frac{cos (nx)}{x},g(x)>=2\lim_{e \to 0}\int_{e}^{R}{cos (nx)g'(x_0)}dx$
$\int_{e}^{R}{cos (nx)g'(x_0)}dx\le\max_{[-R;R]}{|g'(x_0)|}\int_{e}^{R}{cos (nx)}dx=$
$=\max_{[-R;R]}{|g'(x_0)|}(\frac{sin(nx)}{n}-\frac{sin(ne)}{n})\to_{e\to0}$
$\to\max_{[-R;R]}{|g'(x_0)|}\frac{sin(nx)}{n}\to_{n\to\infty}0$
Здесь надо писать модуль при оценивании интеграла, но если написать его, то выходит следующее:
$|\int_{e}^{R}{cos (nx)g'(x_0)}dx|\le\max_{[-R;R]}{|g'(x_0)|}\int_{e}^{R}{|cos (nx)|}dx$
дальше я не знаю как его оценивать.

[ewert]

Aiga в сообщении #397017 писал(а):

$\int_{e}^{R}{cos (nx)g'(x_0)}dx\le\max_{[-R;R]}{|g'(x_0)|}\int_{e}^{R}{cos (nx)}dx$

С модулями -- полнейшее безобразие.

Aiga в сообщении #397017 писал(а):

$\max_{[-R;R]}{|g'(x_0)|}\int_{e}^{R}{|cos (nx)|}dx$
дальше я не знаю как его оценивать.

Никак разумно его не оценишь -- оставшийся интеграл не мал.

Вообще не надо никаких оценок. Вполне достаточно уже того, что нечётная основная функция после деления на икс остаётся уж как минимум непрерывной, а интеграл от косинуса на непрерывную функцию по лемме Римана-Лебега стремится к нулю.