Уравнение стороны треугольника по двум другим и биссектрисе

[dmitryf]

Решаю задачу по геометрии, ответ не сходится, может подскажите ошибку.

Условие: (Пархоменко 443) Даны уравнения сторон треугольника 3x+y-3=0, 3x+4y=0 и уравнение биссектрисы x-y+5=0 одного из внутренних углов. Составить уравнение третьей стороны.

Мое решение: Я нашел углы и точки пересечения этих прямых и выяснил, что биссектриса делит угол между прямой 3x+y-3=0 и неизвестной. Дальше вычислил тангенс между этой прямой и биссектрисой:
$tg\phi = \frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}} = \frac{-3-1}{1-3} = 2$

Такой же тангенс угла будет между биссектрисой и неизвестной прямой (порядок важен ибо знаки меняются и тут я мог ошибиться):

$2 = \frac{1-x}{1+x}; x=k=-\frac{1}{3}$

Каноническое уравнение прямой проходящей через точку:

$\frac{x-x_0}{y-y_0} = \frac{A}{B} = -k$

Точку пересечения прямой 3x+y-3=0 и биссектрисы тоже нашел: (-1/2;9/2). Осталось подставить значения и найти уравнение, но ответ неправильный. Методом подбора выяснил, что правильный ответ получается при k=-3.

Спасибо

[gris]

Можно использовать то, что биссектриса является осью симметрии угла, а так как она исключительно в данной задаче имеет специфическое уравнение, то и коэффициенты в искомом уравнении выписываются сразу. Останется найти свободный член (13?).

[dmitryf]

Ага, а расскажите свое решение? Я сделал тоже через симметрию, спасибо за наводку. Нашел сначал точку пересечения двух сторон, потом уравнение нормали к биссектрисе, точку пересечения нормали и биссектрисы, ну и саму симметричную точку, потом записал уравнение прямой по двум точкам (первая пересечение стороны и биссектрисы, вторая та симметричная).

Но есть подозрение, что это делается проще, раз вы это в уме посчитали.

[gris]

биссектриса треугольника параллельна биссектрисе первого координатного угла. при симметрии относительно такой прямой у вектора просто меняются местами координаты. у направляющего или нормального вектора прямой тоже. а значит, в уравнении прямой поменяются местами коэффициенты при переменных. ну и осталось привязать прямую к точке, которыю вы нашли.

[dmitryf]

Круто. При таком решении даже уравнение второй стороны не нужно.

[gris]

оно нужно, чтобы узнать, из какого угла проведена биссектриса. ведь могло бы быть два решения.