Задание топологии через оператор ядра

[JMH]

Пытаюсь понять условие и, если получится, впоследствии решить следующую задачу:

Пусть $i$ - оператор, который переводит подмножества множества $X$ в подмножества множества $X$, и $\mathfrak{F}$ - семейство всех таких множеств, что $A^i=A$. При каких условиях $\mathfrak{F}$ будет топологией, а $i$ (одновременно) - оператором перехода к ядру?

Во-первых, мне непонятно, что такое "оператор перехода к ядру"? Он имеет какое-то отношение к ядру линейного оператора? Во-вторых, $\mathfrak{F}$ - это семейство открытых множеств, стало быть $A^i=A$ означает, что открытые множества переходят сами в себя, но ведь нигде не говорится (текст условия приведен дословно), какие именно подмножества носителя $X$ мы считаем открытыми? Размышляя по смутной аналогии с ядром линейного оператора, следует ли предполижить, что $i$ переводит множества, не являющиеся открытыми в $\varnothing$?

Зранее спасибо за любые идеи!

[Виктор Викторов]

С помощью оператора внутренности можно однозначно задать топологию следующим образом:

(а) $Int(T)=T$,
(б) для каждого $A$ $Int(A)\subseteq A$,
(в) для каждого $A$ $Int(Int(A))=Int(A)$,
(г) для любых $A$ и $B$ $Int(A \cap B)=Int(A) \cap Int(B)$.

Посмотрите также здесь post387573.html#p387573

[JMH]

Bingo! И условия именно те, спасибо!

[paha]

JMH в сообщении #396413 писал(а):

Он имеет какое-то отношение к ядру линейного оператора?

это старая терминология: ядром называли внутренность множества в тоологическом пространстве

[maxmatem]

JMH
Кстати , а задача случайно не из "Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях " ??

[JMH]

Нет, это из "Общей топологии" Кэлли.

[Виктор Викторов]

Если будет настроение, загляните в Р. Энгелькинг "Общая топология" Перевод с английского М. Я. Антоновского и А. В. Архангельского Москва "МИР" 1986 Страница 38.

[JMH]

Хорошая книга, в свое время я отложил ее на бущее, потому, что очень уж медленно подается материал, например связность рассматривается аж в пятисотых страницах. Кэлли в этом смысле гораздо компактнее

[Виктор Викторов]

"Общая топология" Келли, по крайней мере, устарела. (Это я вежливо). А что касается Энгелькинга, то его лучше читать выборочно.

[paha]

JMH в сообщении #396469 писал(а):

Хорошая книга, в свое время я отложил ее на бущее, потому, что очень уж медленно подается материал

На мой взгляд Энгелькинг -- это совсем не учебник, скорее справочник, энциклопедия.

На мой, опять же, взгляд, лучший учебник -- это
Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М. Элементарная топология. М. МЦНМО 2010г.

[JMH]

paha в сообщении #396498 писал(а):

На мой, опять же, взгляд, лучший учебник -- это
Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М. Элементарная топология. М. МЦНМО 2010г.

Это не та самая книга, где все доказательства теорем вынесены в конец главы? Если да, то не припомню ни одного другого случая, чтобы книга по математике меня так раздражала...

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #396498 писал(а):

На мой взгляд Энгелькинг -- это совсем не учебник, скорее справочник, энциклопедия.

Энгелькинг, конечно, хорош и как справочник и как энциклопедия. Но он также хорош и как учебник. Просто его надо читать медленно и выборочно. Пока я не понял про выборочно, я придерживался Ваших взглядов по этому вопросу.

paha в сообщении #396498 писал(а):

На мой, опять же, взгляд, лучший учебник -- это
Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М. Элементарная топология. М. МЦНМО 2010г.

Это, несомненно, хороший учебник.

JMH в сообщении #396505 писал(а):

Это не та самая книга, где все доказательства теорем вынесены в конец главы? Если да, то не припомню ни одного другого случая, чтобы книга по математике меня так раздражала...

Открою Вам один секрет. Читать надо одновременно несколько учебников.

[Виктор Викторов]

Мы так мило побеседовали о книге Рышарда Энгелькинга "Общая топология", что я решил в неё заглянуть ещё раз и ... обнаружил дикую опечатку на странице 209 «Зарождение понятия компактности связано с теоремой Бореля (доказанной в 1894 г.), утверждающей, что каждое счетное открытое покрытие замкнутого интервала содержит бесконечное подпокрытие этого интервала, ...»
Правда, всё не так страшно т. к. в английском тексте всё правильно «The genesis of the notion of compactness is connected with the Borel theorem (proved in 1894) stating that every countable open cover of a closed interval has a finite subcover,...»

[maxmatem]

Цитата:

счетное открытое покрытие замкнутого интервала содержит бесконечное подпокрытие этого интервала, ...»

Я эту опечатку, где чуть меньше года назад обнаружил, при чтении на ночь, и тогда я подумал может уже поздно мозги затуманились и я чего-то наверное перепутал, и с этой мыслью лёг спать, но с утра ещё раз перечитал и убедился в ошибочности высказывания.....
(Виктор Викторов

(Оффтоп)

Кстати , вы не могли бы дать ссылку на эту книгу на английском языке?

[Виктор Викторов]

maxmatem в сообщении #397124 писал(а):

Я эту опечатку, где чуть меньше года назад обнаружил, при чтении на ночь, ...

Теперь Вы понимаете как вредно читать на ночь?

maxmatem в сообщении #397124 писал(а):

Кстати , вы не могли бы дать ссылку на эту книгу на английском языке?

Не помню я где брал. Давайте я залью её в Dropbox. (Заодно пойму как Dropbox работает).