2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача по термодинамике
Сообщение07.01.2011, 17:25 
Задание: Доказать, что разность теплоемкостей $C_p$ - $C_v$ стремится к нулю при $T \rightarrow 0$ быстрее, чем $C_p$ или $C_v$

С чего начать? Пока что из уравнения $$dE=Tds-PdV$$ есть формулы
$$C_v=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_v, C_p=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p,$$ Что дальше?

 
 
 
 Re: Задача по термодинамике
Сообщение07.01.2011, 17:42 
Дальше надо математически сформулировать утверждение "при $T \rightarrow 0$ некая функция $x(T)$ стремится к нулю быстрее, чем функция $y(T)$ или $z(T)$ (формализовать скорость стремления к нулю и сравнить две скорости). А уж потом доказать это утверждение.

 
 
 
 Re: Задача по термодинамике
Сообщение07.01.2011, 17:54 
А! То есть надо доказать, что $\frac{C_{p}-C_{v}}{C_p} \rightarrow 0$ и $\frac{C_{p}-C_{v}}{C_v} \rightarrow 0$ при $T \rightarrow 0$, так?

-- Пт янв 07, 2011 22:21:13 --

Я тут в общем порылся в тетрадке... нашел доказательство, только не совсем разобрался в нем:
Сначала
$$C=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right) \rightarrow 0$$
далее
$$S(T,V)=\int_{0}^{T}{\frac{C_v}{T}dT}$$
$$S(T,P)=\int_{0}^{T}{\frac{C_p}{T}dT}$$
тут вроде всё ясно, но потом следует такая фраза: "чтобы интеграл сходился и энтропия была конечной $\frac{C_v}{T} \sim \frac{1}{T^\alpha}, \alpha < 1$" - почему? откуда это?
Далее уже $$S \sim T^\kappa, \kappa > 0 => C_{v},C_{p} \sim T^\kappa$$ ну и в конце концов оказывается, что $C_{p}-C_{v} \sim T^{2\kappa+1}$, и всё складывается замечательно

-- Пт янв 07, 2011 22:46:28 --

Ладно в общем, вроде разобрался

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group