Корректна ли задача?

[Andrey173]

Вычислить сумму $a^{2003}+1/a^{2003$}, если $a^2-a+1=0$
Меня смущает уже то, что квадратное уравнение не имеет решений. Однако в книге по олимпиадным задачам ее как-то решили. В процессе решения кстати установили, что $a^3=-1$.

[mihailm]

это из тех времен когда в школе комплексные числа проходили наверно

[caxap]

Andrey173 в сообщении #396035 писал(а):

установили, что $a^3=-1$.

$a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)=0$

[Andrey173]

caxap
Да именно так) Просто меня смущает, что тогда $a=-1$ и $a^2-a+1=3$

[caxap]

(delete)

Andrey173
$\sqrt[3]{-1}\neq -1$

[Andrey173]

Это связанно с комплексными числами?

[Legioner93]

caxap в сообщении #396045 писал(а):

Andrey173
$\sqrt[3]{-1}\neq -1$

Насколько я знаю, $\sqrt[3]{-1}= -1$ А для комплексных корней нельзя использовать значок арифметического корня.

-- Чт янв 06, 2011 20:26:53 --

Andrey173 в сообщении #396048 писал(а):

Это связанно с комплексными числами?

Напрямую. Уравнение $a^3=-1$ имеет три корня на множестве комплексных чисел. Один вы знаете, а два других можете найти, решив уравнение $a^2-a+1=0$

[caxap]

Andrey173 в сообщении #396048 писал(а):

Это связанно с комплексными числами?

Связано, но знать это не нужно. Задачу можно и без них решить.

Legioner93 в сообщении #396049 писал(а):

Насколько я знаю, $\sqrt[3]{-1}= -1$

Ага, извиняюсь. Такой корень тоже есть.

(Оффтоп)

Legioner93 в сообщении #396049 писал(а):

А для комплексных корней нельзя использовать значок арифметического корня.

Можно, если хочется. Как синоним возведения в обратную степень ($\sqrt{-1}=\pm i$, например).