Собственные векторы. Простые задачки

[caxap]

Проверьте, пожалуйста.

1.Докажите, что для любого ненулевого вектора $c\in V_3$ ($V_3$ -- лин. пр-во свободных векторов в 3-мерном пространстве) линейный оператор, определяемый соотношением $\mathcal Ax=x\times c$, имеет единственное собственное значение, равное нулю.

Геом. решение. Все векторы, коллинеарные $c$, перейдут в нулевой вектор. И только они.
Алгебраическое решение. Перейдём в любой правый ортонормированный базис $(c,d,e)$. Тогда $\mathcal Ac=0$, $\mathcal Ad=-e$, $\mathcal Ae=d$; $A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}$; $\chi_A(\lambda)=-\lambda^3-\lambda=0\iff \lambda = 0$.

2. Докажите, что любой лин. оператор в пространстве $V_3$ имеет собственный вектор.

Многочлен 3-й степени $\chi_A(\lambda)$ всегда имеет действительный корень ($\chi_A$ непрерывна, $\lim\limits_{\lambda\to\pm\infty}\chi(\lambda)=\pm\infty$). А собственное подпространство, соответствующее этому корню $\lambda_0$, будет по крайней мере одномерно ($\det(A-\lambda_0 E)=0$).

3. Приведите пример лин. оператора, не имеющего с. в. Какой может быть размерность лин. пространства, в котором есть такие операторы?

Пример: поворот плоскости на некоторый угол в $V_2$.
Размерность должна быть чётная, ибо для нечётной будет хар. многочлен нечётнйо степени, у которого всегда есть 1 действительный корень.

[mihailm]

сойдет)

[caxap]

mihailm, спасибо.

4. Пусть $\mathscr H$ -- лин. подпространство евклидова пространства $\mathscr E$. Рассмотрим линейный оператор $\mathcal Px=x^{\circ}$, где $x=x^{\circ}+x^{\perp}$, $x^{\circ}\in \mathscr H$, $x^{\perp}\in\mathscr H^{\perp}$. Найдите с.з. и с.в. этого оператора.

Возьмём базис $(e_1,\ldots,e_m)$ в $\mathscr H$, $(f_1,\ldots,f_p)$ в $\mathscr H^{\perp}$. Вместе будет базис $b$. Тогда $\mathcal Pe_i=e_i$, $\mathcal Pf_i=0$, поэтому матрица $P=E_m\oplus O_p$. $\chi_P(\lambda)=(1-\lambda)^m (-\lambda)^p=0\iff \lambda\in\{0,1\}$. Из геом. соображений с.в. для $\lambda=0$ -- все векторы, ортогональные $\mathscr H$, для $\lambda=1$ -- все векторы из $\mathscr H$.

[Circiter]

2caxap
Насчет третьего. Поворот же одну точку неподвижной оставляет, это не собственный вектор?

[caxap]

Circiter в сообщении #395968 писал(а):

Поворот же одну точку неподвижной оставляет, это не собственный вектор?

По определению собственный вектор должен быть отличен от нулевого. (В нулевом ничего интересного нет: каждый оператор отображает ноль в ноль.)

[mihailm]

Да и в четвертой все неплохо, вот только я не знаю (или забыл) что такое крестик в кружке (это где матрица P строилась)

И частные случаи рассмотреть, когда лямда только 0 или только 1

[caxap]

mihailm в сообщении #395980 писал(а):

вот только я не знаю что такое крестик в кружке

Прямая сумма матриц, $A\oplus B=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}$ (показана как блочная). $E_n$, $O_n$ -- соотв-но единичная и нулевая матрица $n$-го порядка.

mihailm в сообщении #395980 писал(а):

И частные случаи рассмотреть, когда лямда только 0 или только 1

Единственный корень $\lambda=1$ тогда, когда $P$ единичная матрица, то есть когда $\mathscr H=\mathscr E$. Все векторы (кроме нулевого) собственные.
При $\mathscr H=\{0\}$ матрица будет нулевая, у $\chi_P$ только один корень $\lambda=0$. Все векторы (кроме нулевого) собственные.

[caxap]

То есть, получается, собственные векторы -- это все ненулевые векторы, принадлежащие $\mathscr H\cup\mathscr H^{\perp}$ ?

Последняя:
5. Докажите, что нуль является собственным значением любой кососимметрической матрицы $A$ нечётного порядка $n$.

$A-\lambda E$ тоже является кососимметрической, поэтому $|A-\lambda E|=|(A-\lambda E)^\top|=(-1)^n|A-\lambda E|=-|A-\lambda E|$, откуда $|A-\lambda E|=0$ при любом $\lambda$.

Я где-то напутал, ведь не может быть собственным значением любое вещественное $\lambda$.

[mihailm]

если определитель ноль, то явно есть собственное число 0

[caxap]

mihailm
Я не пойму вот что: раз $|A-\lambda E|=0$ для произвольного $\lambda\in\mathbb R$, то получается бесконечно много собственных значений, чего не может быть (размерность пространства $n$).

[mihailm]

минус 1 в степени н не вытаскивается

[Null]

$A-\lambda E$ - обычно не кососиммертрическая.
$|-A|=(-1)^n|A|$

[caxap]

Ой. Я почему-то думал, что у кососимметрической матрицы на диагонали могут стоять не нули. Тогда определитель не нуль.

А как тогда быть?

[Null]

Ну при $\lambda=0$ ваш метод работает

[caxap]

Ах, точно! Спасибо.