Что больше? (легкая но очень красивая)

[glorius_May]

n - натуральное число.
Что больше: число натуральных чисел, не больших n и делящихся на 3, или число натуральных чисел, не больших n и делящихся на 7 или на 5?
Найдите максимальное n, при котором достигается равенство.
(предлагалась на собеседовании при зачислении в маткружок)

[Батороев]

Тех чисел больше, у которых меньше взаимнопростых.

$\varphi (3)=2$

$\varphi (5\cdot 7)=4\cdot 6=24$

$|n\cdot \dfrac {24}{35}|-|n\cdot \dfrac {2}{3}|=0$

(прямые скобки - целая часть).

$n_{max}=51$

[glorius_May]

Батороев в сообщении #395597 писал(а):

Тех чисел больше, у которых меньше взаимнопростых.

$\varphi (3)=2$

$\varphi (5\cdot 7)=4\cdot 6=24$

$|n\cdot \dfrac {24}{35}|-|n\cdot \dfrac {2}{3}|=0$

(прямые скобки - целая часть).

$n_{max}=48$

Вы ошиблись. Сорри! Не 48

[Батороев]

Я не успел исправить.

[glorius_May]

Батороев в сообщении #395601 писал(а):

Я не успел исправить.

Снова промашка.
Гадать будемте?

[glorius_May]

Батороев в сообщении #395601 писал(а):

Я не успел исправить.

Вы почти угадали но почти не считается, и не гадать нужно а подумать...

[EtCetera]

glorius_May
А какое из двух возможных "или" фигурирует в условии?

[glorius_May]

EtCetera в сообщении #395646 писал(а):

glorius_May
А какое из двух возможных "или" фигурирует в условии?

Включающее.
Или на 7, или на 5, или на 7 и на 5 сразу.

[EtCetera]

glorius_May
Тогда разве не 65?

[glorius_May]

EtCetera в сообщении #395655 писал(а):

glorius_May
Тогда разве не 65?

Ну на конец то!
А обосновать?

[Alexiii]

Так как $5$ и $7$ взаимно простые числа, а $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor $ выражает количество кратных $k$, не больших $n$, то задачка сводится к тому, чтобы найти максимальное $n$ при условии $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor+\lfloor \frac{n}{35}\rfloor=\lfloor \frac{n}{5}\rfloor+\lfloor \frac{n}{7}\rfloor$. То обстоятельство, что максимум достигаем, очевидно, так как в пределе, когда возрастает $n$,вероятность того, что любое взятое число делится на $k$, равна $\frac{1}{k}$, так как в этом случае будем иметь полноценные конечные поля, и из $\frac{1}{3}>\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{35}$ будем иметь, что, начиная с какого-то $n$, количество кратных 3-м будет больше, чем количество кратных 5-и или 7-ми.

Найти максимальный $n$ можно, написав короткий программный код (как видно, нашли уже!)! Обосновать - ща попробуем!

[Alexiii]

По ходу дела, прямо (из определения целой части числа или переходя к дробной части из уравнения выше) можно получить оценку для $n$ сверху: $n<105$.

[Casaubon]

Оценка сверху получается из уравнения

$$ \frac{n-2}3+\frac{n-34}{35}=\frac n5+\frac n7 $$

что даёт максимальное значение $n=86$. Для него $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor=28$, $\lfloor \frac{n}{5}\rfloor+\lfloor \frac{n}{7}\rfloor-\lfloor \frac{n}{35}\rfloor=27$. А дальше идти вниз перебором уменьшая каждое из этих чисел при попадании на число, делящееся, соотвественно, на $3$ $5$ или $7$ пока не будет достигнуто равенства.
Только почему задачка красивая, если таки нужен перебор? Или есть более красивое решение?
И сколько давалось времени на её решение на собеседование и чем можно было пользоваться?