Задача на баллистику (даление пороховых газов и т.п.)

[SharkTPO]

Привет всем!
Помоги подступиться к задаче:

Может я конечно перегибаю палку и все проще чем кажется, но...
1) Орудие со стволом длинны L производит выстрел снарядом с массой m.
2) Диаметр внутренней полости ствола равен D, снаряд почти герметично перекрывает ток газов. Но не идеально.
3) Орудие устроено так, что при выстреле давление пороховых газов равно некому равномерно распределенному случайному значению P с среднеквадратичным отклонением sigma. Имеется так же значение среднего P (см. дискретное равномерное распределение или непрерывное равномерное распределение).
ИТОГО: имеем m, L, D, P(средн.), sigma.

Итак, из орудия производится зал под таким углом alpha, чтобы попасть в цель, находящуюся на расстоянии S от орудия.
Вроде не сложно, только я не могу найти скорость вылета снаряда из дула орудия (со случайным P я раберусь), а так же как следует учитывать в системе само орудие (длинна ствола относительно расстояния до цели).
Действие происходит на равнине.

Заранее спасибо за идеи и подсказки! И извините если вопрос изложен не совсем корректно.

ПС: Будет просто фантастически, если кто-либо подскажет формулы зависимости нахождения скорости вылета V снаряда от P.

[PacMan500]

Сила, действующая на тело - F=PS, где S - площадь сечения
Ускорение связано с силой по второму закону Ньютона
Зная ускорение, воспользуйтесь законом равноускоренного движения

Либо есть вариант попроще: работа пороховых газов при расширении равна приращению кинетической энергии снаряда:
$P \Delta V=mV^2/2$, где $\Delta V$ - увеличение объема, занимаемого газом (объем ствола)

[Munin]

Длиной ствола по сравнению с расстоянием до цели обычно можно пренебречь.

[SharkTPO]

Ребят, спасибо. Как будут свои идеи (наработки) - я сразу же выложу их сюда. Может ещё вопросы появятся, а может (тьфу-тьфу-тьфу) нет.

-- Ср янв 05, 2011 17:20:01 --

Странно, по поводу формулы F=P*S=m*a - давление по ходу дела (расширения) должно падать, а значит сила воздействия на снаряд не должна быть постоянна. А значит и ускорение не будет постоянным (движение не равноускоренное).

А вторая формула подойдет, если брать как константу то, что снаряд находится под воздействием газов возле самого отверстия. Допустимо ли это или я ошибаюсь?

[SharkTPO]

Хотя нет, для второго случая нас как раз и интересует конечный результат! Точнее вылет из ствола снаряда.

[Munin]

Возьмите адиабатическое расширение газа.

[PacMan500]

не заметил, что у вас давление переменное
Тогда работу можно рассчитать следующим образом:
$\int_{o}^{l}{p(x)Sdx}$
или для дискретно заданной случайной величины:
$\sum_{i=1}^{n}{p_i S \Delta x_i}$

[SharkTPO]

Да нет, с давлением, я так предполагаю, не следует усложнять. Скорее всего в поставленной задаче интересует конечный момент выстрела: давление пороховых газов, занимающее весь объем ствола, выталкивает снаряд со скоростью V.
А изменяющееся P - это разные значения давления при разных выстрелах. Число выстрелов будет равно N.


ЗАДАЧА:
Имея давление P, sigma - среднеквадратичное отклонение для давления на каждый отдельный выстрел, диаметр D, длинна ствола L, расстояние до цели S и масса снаряда m
нужно смоделировать N экспериментальных выстрелов по цели находящейся на расстоянии S.

РЕШЕНИЕ:
Надеюсь равномерно распределенную величину давления P в MatLab'е я смогу смоделировать, но допустим в момент одного из экспериментов давление равно "P".

1) Найдем скорость вылета снаряда через кинетическую энергию: $W=P\cdot L\cdot\pi(\frac{D}{2})^{2}=\frac{m\cdot V^{2}}{2}$
Откуда скорость: $V=\sqrt{\frac{2\cdot P\cdot L\cdot\pi(\frac{D}{2})^{2}}{2}}$

2) Пушка стреляет под неким углом $\alpha$, значит скорости будут по осям X и Y:
$V_{x}=V\cdot cos \alpha $
$V_{y}=V\cdot sin \alpha $

3) Чтобы узнать время полета снаряда, особо мудрствовать не стоит - это время полета снаряда по вертикали до высшей точки, а затем вниз. Если начальная скорость по оси Y будет $V_{y}$, то $t=2\cdot\frac{V_{y}}{g}$
Надеюсь, я верно рассуждаю?

4) Путь до цели, зная время, определить не сложно, но тут загвоздка...
$S_{путь}=V_{x}\cdot t$
Дело в том, что Путь нам изначально (насильно, как угодно понимайте) дан. Ок. Тогда единственная неизвестная нам величина - это $\alpha$.
$\alpha=arccos(\frac{S}{V\cdot t})$

Отсюда коллапс. Мы время ещё не знаем.

Что с этим делать? Подскажите пожалуйста.

(Оффтоп)

Блин, я уже начинаю понимать, что достаю всех здешних своей непроходимостью и недальновидностью. Простите :( Не хотела.

[PacMan500]

Ну так вы получили систему уравнений с двумя неизвестными: угол и время.
Первое уравнение по оси х, второе по оси у.

А по поводу давления конечно более правильно будет воспользоваться советом Munin и посчитать работу газа при адиабатном расширении. Формула, которую вы применили, справедлива только для постоянного давления в стволе. Однако, как мне кажется, вам эту задачу давали именно с предположением о постоянном давлении. Иначе вам еще понадобится показатель адиабаты пороховых газов.
Да и задача тогда будет больше на термодинамику чем на баллистику.

[SharkTPO]

Постановка задачи предполагает создание интерфейса, где будет введены все исходные данные, а это как давление, параметры ствола... так и расстояние до цели S и кол-во экспериментов N.
Показателя адиабаты k нет, ровно как теплоемкости при постоянном давлении и объеме.
Потому я тоже схожусь ко мнению, что давление постоянно (пусть будет не орудие, а бутылка шампанского).

Цитата:

Ну так вы получили систему уравнений с двумя неизвестными: угол и время.
Первое уравнение по оси х, второе по оси у.

То есть?
Вы про последнюю формулу и ещё какую?

(Оффтоп)

Непроходимая тупица я

[PacMan500]

$t=\frac{2V\sin(\alpha)}{g}$
$S=Vt\cos(a\lpha)$
2 уравнения - 2 неизвестных

[Утундрий]

Показатель адиабаты все-таки необходим. Кроме того, не хватает еще объема каморы.

[SharkTPO]

Все просто...Жаль, что мозги студенческие - все что было, то забыла.

Заменяем t, получаем формулу $S=V\cdot cos \alpha \cdot \frac{2\cdot V \cdot sin \alpha}{g}=2\cdot V^{2}\cdot \frac{sin \alpha \cdot cos \alpha}{g}=V^{2}\frac{sin 2\alpha}{g}$
$\alpha=\frac{arcsin\frac{S\cdot g}{V^{2}}}{2}$

Спасибо большое тем, кто проявил участие. Если появятся вопросы относительно темы, то...надеюсь справлюсь сама =)

[SharkTPO]

Ребят, я сейчас в процессе написания программы, выложу по результату.
Хочу немножко усложнить задачу - принять в учет высоту отверстия ствола от земли, напомните пожалуйста физику:

С высоты h метров от земли под углом $\alpha$ кидают камень со скоростью $V_{0}$.

РЕШЕНИЕ:
Рассчитываем и рассматриваем весь процесс полета камня с высоты h до высоты h над некой точкой оси x (когда тело падает вниз уже).
Для этого раскладываем проекции вектора скорости на координатные оси X и Y:
$V_{y}=V_{0}\cdot \sin\alpha$
$V_{x}=V_{0}\cdot \cos\alpha$
Откуда время полета камня от h до h (с высоты броска до той же высоты во время падения):
$t=2\cdot\frac{V_{y}}{g}$
Значит путь по оси X, который преодолеет тело до точи пересечения высоты броска:
$S=V_{x}\cdot t$

Что дальше? Знаем h, $V_{x}$ и обратное $V_{y}$ (которое равно отрицательно своей величине на высоте h).

Чтобы рассчитать конечную скорость (у земли) по Y:
$V_{y_ ground}=V_{y_h}+\sqrt{2\cdot g\cdot h}$
Время на падение из формулы равноускоренного движения:
$S=V_{0}\cdot t+\frac{a\cdot t^{2}}{2}$ Где $V_{0}=V_{y}$, а g и есть ускорение, тогда получим уравнение:
$g\cdot t^{2}+2V_{y}\cdot t-2S=0$
Дискриминант которого равен $b^{2}-4ac$, т.е. $4V_{y}^2-8g\cdot h$, что должно быть больше либо равно 0.
$t_{1,2}=\frac{-2V_{y}\pm\sqrt{4V_{y}^2-8g\cdot h}}{2g}$
Что дает нам t для расчета расстояния , которое тело пролетит после прохождения высоты h:
$S_{dop}=V_{x}\cdot t$

$S=S_{dop}+S_{h-->h}$

Все правильно?

[SharkTPO]

Последнее все неправильно
Точнее правильно, но не для моей задачи. Я изначально использую заведомо мне известное S для вычисления угла стрельбы.
Косяк. Если применить последнее мое сообщение, то получу отрицательные величины.


ПС: я знаю, что вопрос не совсем в тему (но имеет отношение к задаче):
Зная среднеквадратичное отклонение (случайные величины) и среде арифметическую величину всех значений - как сделать генератор N случайных значений давления, где среднеарифметическая P=const (закон распределения - равномерный)?