Чет или нечет?

[glorius_May]

Может ли $[(n-1)!/(n^2+n)]$ быть нечетным?
Если да - привести пример, если нет - доказать.
*n - натуральное число

[Руст]

Очевидно нет. $v_2(n^2+n)\le log_2(n+1)<v_2((n-1)!),n>4$. До $n=4$ легко проверить.

[RIP]

Руст в сообщении #395350 писал(а):

Очевидно нет. $v_2(n^2+n)\le log_2(n+1)<v_2((n-1)!),n>4$.

Этого недостаточно. Число ведь не обязательно целое. Ещё надо рассмотреть случаи $n=p,p-1$. Если $n=p$ достаточно велико, то $\frac{(n-1)!}{n+1}$ --- чётное целое число, сравнимое с $-1$ по модулю $p$, поэтому и целая часть чётна. Случай $n=p-1$ аналогичен.

[Руст]

RIP в сообщении #395391 писал(а):

Руст в сообщении #395350 писал(а):

Очевидно нет. $v_2(n^2+n)\le log_2(n+1)<v_2((n-1)!),n>4$.

Этого недостаточно. Число ведь не обязательно целое. Ещё надо рассмотреть случаи $n=p,p-1$. Если $n=p$ достаточно велико, то $\frac{(n-1)!}{n+1}$ --- чётное целое число, сравнимое с $-1$ по модулю $p$, поэтому и целая часть чётна. Случай $n=p-1$ аналогичен.

Причем тут целость, не целость. Нечетность есть $v_2((n-1)!)\le v_2(n(n+1))\le [log_2(n+1)]$.
Этого нет при $n>4$.

[RIP]

$v_2(2^{10}/1001)=10>0$, но $\lfloor2^{10}/1001\rfloor=1$ нечётно.

[Батороев]

$\dfrac {(n-1)!}{n(n+1)}$

В зависимости от четности $n$ в числителе всегда найдется $\dfrac {n}{2}$ или $\dfrac {n+1}{2}$, которые сократятся и четность знаменателя будет $2^1$. Четность оставшихся множителей числителя всегда будет выше $2^1$. Типа того...

[Руст]

RIP в сообщении #395534 писал(а):

$v_2(2^{10}/1001)=10>0$, но $\lfloor2^{10}/1001\rfloor=1$ нечётно.

Только с вашей записи понял, что квадратные скобки у автора означают целую часть. Соответственно требуется отдельно рассмотреть случаи $n=p$ и $n=p-1$.
При $n=p\ge 5$ число $m=\frac{(p-1)!}{p+1}$ четное целое и наше выражение есть $\frac{m-p+1}{p}$ четное из-за четности числителя.
При $n=p-1,p\ge 7$ число $m=\frac{(p-2)!}{p-1}$ четное и остаток при делении на p опять $p-1$, соответственно наше выражение есть $\frac{m-p+1}{p}$ - четное.

[glorius_May]

Руст в сообщении #395591 писал(а):

Только с вашей записи понял, что квадратные скобки у автора означают целую часть.

Я думал это все знают. В следующий раз буду оговаривать отдельно...