Вопрос по функции

[paha]

maxmatem в сообщении #394901 писал(а):

то бы доказать что она является гладкой и $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$.

кванторы!!! Что за функция? Что за число $n$ (существует такое, для любого ли)

[maxmatem]

Цитата:

и уж кванторы пишите... вот я утверждаю, что $\forall n\in\{0,1,2\ldots\}$ и $\forall k\in\{0,1,\ldots, n+1\}$ справедливо $\phi_n^{(k)}(0)=0$

А как же

Цитата:

В этих обозначениях он показал, что $\phi_1^{(3)}(0)\ne 0$

получается то при $n=1$ и $k=2$.

[paha]

maxmatem в сообщении #394903 писал(а):

А как же
Цитата:
В этих обозначениях он показал, что $\phi_1^{(3)}(0)\ne 0$

получается то при $n=1$ и $k=2$.

здесь $k=3>2=n+1$
вообще, для любого $n$ справедливо $\phi_n^{(n+2)}(0)\ne 0$

[maxmatem]

Я хочу доказать вот такое
Утверждение
Функция
$\[ \phi (t) = \left\{ \begin{gathered} t^{n + 1} \sh(t);\,\,\,t \ne 0,n \in N \hfill \\ 0;\,\,\,\,t = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$
гладкая причём $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$

[paha]

maxmatem в сообщении #394905 писал(а):

Функция
$\[ \phi (t) = \left\{ \begin{gathered} t^{n + 1} \sh(t);\,\,\,t \ne 0,n \in N \hfill \\ 0;\,\,\,\,t = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$
гладкая причём $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$

1) любой объект в утверждении должен появлятся с квантором (существования, или всеобщности) -- у Вас ничего непонятно про $n$.

2) чем эта функция отличается от заведомо аналитической (это круче гладкости) функции $t^{n + 1} \sh(t)$?

3) имеет место гораздо более сильное утверждение о равенстве нулю всех производных вплоть до $(n+1)$-ой

[maxmatem]

$\[ \forall n \in N \] $

Цитата:

имеет место гораздо более сильное утверждение о равенстве нулю всех производных вплоть до $(n+1)$-ой

paha
Я извиняюсь что туплю, но всё же не возьму в толк верно ли то утверждение которое я сформулировал?

[paha]

maxmatem в сообщении #394907 писал(а):

$\[ \forall n \in N \] $

утверждение останется верным, даже если написать $\forall n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$

[Legioner93]

Извините, я просто запутался в обозначениях. Я подумал, что вы утверждением "$\phi^{(n)}(0)=0$ для любого $n$" говорите, что любая производная этой функции 0, т.е. я не заметил, что n у вас входит в определение функции:) Просто иногда фразу "для любого" опускают и задания звучат так: "$y=f(x)$, докажите, что $f^{(n)}(0)=0$", подразумевая для любого n. А так, конечно, вы правы.

[maxmatem]

да я тоже моленько запутался, но теперь всё стало на свои места. Всем огромное спасибо.

[paha]

Я бы сформулировал так.


Для любого целого неотрицательного $n$ функция
$\phi (t) = t^{n + 1} \sh(t)$ аналитическая,
причем $\phi ^{(k)} (0) = 0 $ для любого $k\in\{0,\ldots,n+1\}$

Собственно, доказывать тут нечего -- утверждение тривиально.

[maxmatem]

Цитата:

Для любого целого неотрицательного $n$ функция
$\phi (t) = t^{n + 1} \sh(t)$ аналитическая,
причем $\phi ^{(k)} (0) = 0 $ для любого $k\in\{0,\ldots,n+1\}$

но вместо $k$ записав $k=n$. Верность утверждения не пострадает, но ослабит его.Но оно мне именно и нужно.

[paha]

maxmatem в сообщении #394918 писал(а):

но вместо $k$ записав $k=n$. Верность утверждения не пострадает, но ослабит его.Но оно мне именно и нужно.

Верно следующее утверждение
Для любого целого неотрицательного $n$,
для любой ограниченной (не обязательно непрерывной!) функции $f$,
определенной в некотором интервале $(-\varepsilon,\varepsilon)\subset\mathbb{R}$
функция $\phi (t) = t^{n + 1} f(t)$ c той же областью определения такова, что
1) она дифференцируема $n+1$ раз в нуле
2)$\phi ^{(n)} (0) = 0$

Так зачем Вам шинус понадобился?

[maxmatem]

ну что первое в голову пришло то и написал, тем более я подбирал, что бы для$ \[t \geqslant 0\]$ имеем $\[\phi (t) \geqslant 0,\]$. Вот и подобрал такую функцию.